让$x, y \in \mathbb R^N, \mathbf \alpha \equiv (\alpha_0, \dots, \alpha_N) \equiv (\alpha_0, \mathbf \alpha'_0), \; \mathbf z^\alpha \equiv z_0^{\alpha_0} \dots z_N^{\alpha_N}$是多项式系数。然后${d \choose \alpha}$

$$\left(\left<\mathbf x, \mathbf y \right> + c\right)^d = \sum_{|\mathbf \alpha| = d} {d \choose \alpha} c^{\alpha_0} (\mathbf x \mathbf y)^{\mathbf \alpha'_0}$$

如果你和之间，它遵循${d \choose \alpha} c^{\alpha_0}$$\Phi(\mathbf x)$$\Phi(\mathbf y)$

$$\Phi(\mathbf z) = \left(\sqrt{ {d \choose \alpha} c^{\alpha_0}} \mathbf z^{\alpha'_0} \right)_{\forall |\mathbf \alpha| = d}$$

参考

• 用于模式识别的支持向量机教程（参见6.1。多项式核的 VC 维）
• 数据挖掘和分析：基本概念和算法，第 5 章，第 149-151 页。