我正在处理对小型实验数据集的建模。由于大多数实验工作不会产生数千个样本，而是产生少量样本，因此我需要对如何处理这少量数据集（比如 10-20）具有创造性。我一直在构建一个很好的框架来做到这一点，在这一点上，我有兴趣使用预测值生成误差线。

粗略地说，这是框架中发生的事情（例如，当应用多线性模型时）：

1. 创建一个合奏$N$数据集。
2. 在每个数据集上，回归会产生一个（线性）模型，如下面的公式 1 所示。这导致$N$每个系数的值$\beta$.
3. 计算三组中每组的平均值$\beta$s。（平均值也可以是另一个函数，但现在，假设它是平均值）
4. 这三个意思$\beta$s 是要使用的模型的系数（同样是 Eq.1）。
5. 目标：在公式 1 中找到模型的预测区间 (PI)，同时考虑系数$\beta$是根据数值分布计算的。

以下面的多元线性回归模型为例：

$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 \tag{1}$$ 我正在寻找一个代数方程来计算（数字）新预测的预测区间（PI）$y_0$（置信区间可以，并且它与 PI 相关）。

到目前为止，我的搜索只能为我提供处理数据集统计性质的答案（$x_i$的）。这些为我提供了一个错误组件：

$$\hat{V}_f=s^2\cdot\mathbf{x_0}\cdot\mathbf{(X^TX)^{-1}}\cdot\mathbf{x_0^T} + s^2 \tag{2}$$ 可用于计算 PI，通过： $$y=y_0 \pm t_{\alpha/2,n-k}\cdot\sqrt{\hat{V}_f} \tag{3}$$

与这些示例相比，每个模型系数 ($\beta_0, \beta_1$和$\beta_2$）在这种情况下有一个误差条（通过从分布中引导提取，分布本质上是数值而不是分析的，并且分布对于三个系数中的每一个都是特定的）。有没有办法将不确定性纳入$\beta_i$的（cq “误差线”）在计算 PI（和 CI）？

---

注意： 我知道，可以使用$\beta_i$从它们各自的分布中提取，并基于获得的分布$y_0$计算CI的$y_0$，但这并不是真正的计算效率，并且带来了许多我想避免的其他问题。