是的，它适用于布尔函数，您可以将结果修改为紧凑集。

codomian 所在的结果$[-1, 1]$将涵盖回归而不是将我们自己限制为布尔值。

你可能有也可能没有结果$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. 一个定理说明了它需要什么条件才能成立，对于一个定理没有承诺的条件，你必须仔细检查相同的结论是否仍然适用。特别是，如果证明使用紧凑性，那么你不能替换$[-1,1]$和$\mathbb{R}$.

该定理有不同的版本；例如，参见维基百科。

一些反例将有助于关注什么是可能的，什么是不可能的。我不会对此过于正式，但我认为可以通过一些努力来做到这一点。假设我们正在使用 ReLU 激活函数，因此最终的一切都是分段线性和连续的。对于固定的网络架构，最终函数中的铰链点数量是有界的（在只有一个隐藏层的网络中，它最多是隐藏神经元数量的两倍）。所以，$f: \mathbb{R}\to[-1,1],\ f(x)=\sin(x)$无法近似：在所有铰链点之外，我们只有一个线性函数，它不能像摆动一样$\sin$. 使用类似于$\sin(1/x)$. 所以我们需要一个紧凑的域。

如果您想要在每个输入都接近正确输出的意义上进行近似，您显然还需要连续性：跳跃不连续性可以用非常高的斜率来近似，但只能在近似差的点的测量可以是根据需要制作得尽可能小（但为正）。

而现在，紧集的连续图像是紧的，所以范围必然是紧的。（所以在这里你可以安全地将定理扩展为具有 codomain$\mathbb{R}$.)