函数 是线性的当且仅当对于每个它都成立即。$x = (x_1, \dots, x_n) \mapsto f(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}$$a,b \in \mathbb{R}$$f(a (x_1, \dots, x_n) + b (\xi_1, \dots, \xi_n)) = a f(x_1, \dots, x_n) + b f(\xi_1, \dots,\xi_n)$

在您的第二个示例中，尝试计算以查看最后一项将使。$f(a x + b \xi)$$w_3 x_1 x_3$$f(a x + b \xi) \neq a f(x) + b f(\xi)$

第三个示例有一个表示为乘积的系数，但函数保持线性（只需将重命名为）。$w_3 w_4$$w$

您的第三个示例当然是线性的，因为我们可以简单地将想象为。$W3.W4$$W5$

关于您的其他 2 个示例，您需要澄清您的输入是什么。如果您的输入是那么它们不是线性的。然而，在第二个例子中，如果你的函数的输入是那么它仍然是一个线性函数！$f(x1, x2, x3)$$f(x1,x2,x1x3)$

您可以参考@Miguel 的答案进行测试。