[我认为这可能是您问题中讨论的那种情况的一个例子。]

有许多不一致的 ML 估计器的例子。不一致常见于各种稍微复杂的混合问题和审查问题。

[测试的一致性基本上只是对（固定）错误假设的测试的力量增加到1，因为$n\to\infty$.]

Radford Neal 在他的博客文章 2008-08-09 Inconsistent Maximum Likelihood Estimation: An “Ordinary” Example中给出了一个例子。它涉及参数的估计$\theta$在：

（尼尔使用$t$我在哪里$\theta$) 其中 ML 估计为$\theta$会倾向于$0$作为$n\to\infty$（实际上，对于相当适中的样本量，在接近 0 的峰值中的可能性可能远高于真实值）。然而，在真实值附近有一个峰值$\theta$，它只是比接近 0 的那个小。

现在想象一下与这种情况有关的两个案例：

a) 进行似然比检验$H_0: \theta=\theta_0$反对替代方案$H_1: \theta<\theta_0$;

b) 进行似然比检验$H_0: \theta=\theta_0$反对替代方案$H_1: \theta\neq\theta_0$.

在情况 (a) 中，假设真$\theta<\theta_0$（因此替代方案为真，并且$0$是真实的另一面$\theta$）。然后尽管非常接近 0 的可能性会超过$\theta$, 的可能性在$\theta$然而超过了在$\theta_0$即使在小样本中，该比率也会随着$n\to\infty$，以使似然比检验中的拒绝概率变为 1。

事实上，即使在情况 (b) 中，只要$\theta_0$是固定的并且有界远离$0$，也应该是似然比将以这样的方式增长，使得似然比检验中的拒绝概率也接近 1。

所以这似乎是一个不一致的 ML 估计的例子，其中 LRT 的功率仍然应该达到 1（除非当$\theta_0=0$）。

[请注意，在 whuber 的回答中确实没有任何内容，我认为这是一个清晰的示例，并且对于理解测试一致性和估计器一致性之间的区别要简单得多。就理解这种差异而言，特定示例中的不一致估计器不是 ML 的事实并不重要 - 并引入一个特别是 ML 的不一致估计器 - 正如我在这里尝试做的那样 - 并没有真正改变任何实质性的解释。这里示例的唯一真正意义在于，我认为它解决了您对使用 ML 估计器的担忧。]

让$(X_n)$从 Normal 中抽取 iid$(\mu, 1)$分配。考虑估计器

的分布$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$是正常的$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$. 它收敛到$\mu+1\ne \mu$，显示不一致。

在比较零假设时$\mu=\mu_0$一个简单的选择，比如说$\mu=\mu_A$，对数似然比将与基于 LLR 的 LLR 完全相同$\bar{X}$代替$T$. （有效，$T$对于比较零假设很有用$\mu+1=\mu_0+1$对备择假设$\mu+1=\mu_A+1$.) 由于基于均值的检验具有收敛于$1$适用于任何测试规模$\alpha\gt 0$和任何效应大小，使用的测试的力量$T$本身也收敛到$1$.