机器算法验证 - Welch 检验的自由度是否总是小于合并检验的 DF？ - 吾爱随笔录

Welch 检验的自由度是否总是小于合并检验的 DF？

机器算法验证假设检验 t检验

2022-03-05 19:11:46

我正在教授一门基础统计学课程，我们正在对两个方差不等的独立样本进行 t 检验（Welch 检验）。在我看到的例子中，韦尔奇检验使用的调整后的自由度总是小于或等于 $n_1+n_2-2$ .

总是这样吗？Welch 检验是否总是降低（或保持不变）合并（等方差）t 检验的自由度？

在同一主题上，如果样本标准差相等，韦尔奇检验的 DF 是否减少到 $n_1+n_2-2$ ? 我查看了公式，但代数变得一团糟。

1个回答

是的。

Welch 检验对自由度使用Satterthaite-Welch 调整：

d f^{'} = \frac{{(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{\frac{{(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}})}^{2}}{n_{1} - 1} + \frac{{(\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{n_{2} - 1}}

$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$ 如您所见，它相当丑陋（实际上是数字近似），但它必须

d f^{'} < d f

$df'<df$ . 这是一个参考：Howell (2002, p. 214)指出，“

d f^{'}

$df'$ 以较小的为界

n_{1} - 1

$n_1-1$ 和

n_{2} - 1

$n_2-1$ 在一个极端和通过

n_{1} + n_{2} - 2 d f

$n_1+n_2-2~df$ 在另一个”。

以下是“官方”参考资料（请注意，上面的调整——通常使用的调整——来自第二篇论文）：

韦尔奇，BL (1938)。“当总体方差不相等时，两个平均值之间差异的显着性”。 Biometrika, 29, 3/4 , 350-62 页。
萨特思韦特，FE（1946）。“方差分量估计值的近似分布”。 Biometrics Bulletin, 2, 6 , pp. 110–114。
韦尔奇，BL (1947)。“当涉及几个不同的总体方差时，“学生”问题的概括。 Biometrika，34，1/2，第 28-35 页。

（谷歌搜索可能会产生这些的非封闭版本。）

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