首先，澄清一下，正如您的问题所暗示的那样，您所处理的并不是一个二项式分布（您将其称为伯努利实验）。二项分布是离散的——结果要么成功，要么失败。您的结果是每次运行实验时的比率，而不是一组成功和失败，然后您计算一个汇总比率。因此，计算二项式比例置信区间的方法会丢弃大量信息。然而你是对的，将其视为正态分布是有问题的，因为你可以获得一个超出变量可能范围的 CI。

我建议从逻辑回归的角度考虑这一点。以您的比率变量作为结果且没有预测变量运行逻辑回归模型。截距及其 CI 将为您提供所需的 logits，然后您可以将其转换回比例。您也可以自己进行逻辑转换，计算 CI，然后转换回原始比例。我的 python 很糟糕，但是你可以在 R 中做到这一点：

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

以下是这些数据的 99% CI 的下限和上限：

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

您可能想尝试重新采样/引导。让我们看一下您提到的简单案例。

对于 0.99、0.94 和 0.94 这 3 个数据点，您甚至不会进行重采样，因为您只需列出所有 27 种可能的排列，找到每种情况的均值，然后对均值进行排序。

如果您创建列表并获取中间的 25 个观察值，则您有一个$25/27=$[0.9400, 0.9733] 的 92.6% 置信区间。如果你想增加信心$26/27=$96.3%，你有两种片面的区间选择。[0.9400, 0.9733] 或 [0.94, 0.99]。

我假设你的$n$将远大于 3，因此您将通过替换重新采样。假设你这样做了 1000 次。然后找到每种情况的平均值。从这组 1000 个均值中，取中间的 950 个值。该子集的最低和最高值形成 95% 置信区间。

这里的问题：我们如何为置换检验的参数创建置信区间？提供更多细节，包括一些 R 代码。

长期以来，二项式置信区间一直是统计学家争论的主题。您的问题考虑的比率小于 100%，但如果我们使用 100%，它会变得更加成问题。提出问题的一种有见地的方法是：

鉴于太阳在过去 2000 年中每天都在不断升起，那么它明天升起的概率是多少？

有这么高的成功率，我们认为机会非常高，但我们不能 100% 确定（宇宙可能首先爆炸，或者其他什么）。所以，即使你有 100% 的比例，我们也不能让置信区间崩溃$p=1$.

有许多方法可以计算这些尾巴。我建议您查看Wikipedia以了解数学，或者如果您只是想要答案，请搜索像这样的二项式区间计算器（恰好也有更多关于其背后数学的解释）。

贝叶斯方法：

找到唯一的 beta 分布$B$是由实验诱导的（以及先验，比如说，杰弗里斯先验），然后选择最小的间隔$B$的密度集成到您想要的“信心”。可能有多种解决方案，并且根据您的先前情况，平均比率可能不在您的区间内。