MCMC 满足详细平衡并不总是产生平稳分布。您还需要遍历的过程。让我们看看为什么：

考虑$x$成为集合所有可能状态的状态，并通过索引识别它$i$. 在马尔可夫过程中，分布$p_t(i)$根据进化

$$p_t(i) = \sum_{j} \Omega_{j \rightarrow i} p_{t-1}(j)$$

在哪里$\Omega_{j \rightarrow i}$是表示转移概率的矩阵（您的$q(x|y)$）。

所以，我们有那个

$$p_t(i) = \sum_{j} (\Omega_{j \rightarrow i})^t p_{0}(j)$$

事实是$\Omega_{j \rightarrow i}$是一个转移概率意味着它的特征值必须属于区间 [0,1]。

为了确保任何初始分配$p_{0}(j)$收敛到渐近线，你必须确保

• 1 只有一个特征值$\Omega$值为 1 并且它具有唯一的非零特征向量。

为了保证$\pi$是渐近分布，你需要确保

• 2 与特征值 1 相关的特征向量为$\pi$.

遍历性意味着1.，详细平衡意味着2.，这就是为什么两者都形成渐近收敛的充分必要条件。

为什么详细平衡意味着2：

从...开始

$$p(i)\Omega_{ij} = \Omega_{ji} p(j)$$

并总结$j$在双方，我们得到

$$p(i) = \sum_{j}\Omega_{ji} p(j)$$

因为$\sum_{j} \Omega_{ij} = 1$，因为你总是转移到某个地方。

上式就是特征值1的定义，（写成向量形式比较容易看：）

$$1.v = \Omega\cdot v$$

我认为确实如此，因为对于不可约 MC，如果满足详细平衡，那么它具有独特的平稳分布，但要使其独立于初始分布，它也必须是非周期性的。

在 MCMC 的情况下，我们从一个数据点开始，然后提出一个新点。我们可能会或可能不会移动到建议的点，即我们有一个自环，它使不可约的 MC 非周期性。

现在，由于满足 DB，它还具有正循环状态，即返回状态的平均时间是有限的。所以我们在 MCMC 中构建的链是不可约的、非周期性的、正循环的，也就是说它是一个遍历链。

我们知道，对于一个不可约的遍历链，存在一个固定分布，它是唯一的并且独立于初始分布。