高斯随机变量 的加权和 是一个高斯随机变量： if 然后 $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

高斯密度的混合具有作为高斯密度的加权和给出的密度：其中几乎总是不等于高斯密度。参见例如下面的蓝色估计混合物密度（其中黄色带是估计混合物的可变性的量度）：

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[来源：Marin 和 Robert，贝叶斯核心，2007 年]

具有这种密度的随机变量可以表示为 其中和是多项式， :$X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

这里有一些 R 代码来补充@Xi'an 的答案：

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

独立随机变量之和的分布是它们的分布的卷积。正如您所注意到的，两个高斯的卷积恰好是高斯的。

混合模型的分布执行 RV 分布的加权平均。（有限）混合模型的样本可以通过掷硬币（或掷骰子）来决定从哪个分布中抽取：假设我有两个 RV，我想生成一个 RV，其分布是和如果我掷硬币，让。如果我降落尾巴，让。$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$