标准方法使用Ripley 的 K 函数或从它派生的东西，例如 L 函数。该图总结了点的平均邻居数作为最大距离 ( ) 的函数。对于维上的均匀分布，该平均值应该表现得像总是如此。由于聚类、其他形式的空间非独立性和边缘效应（因此指定由点采样的区域至关重要），它偏离了这种行为。由于这种并发症——随着$\rho$$n$$\rho^n$$\rho$$n$增加——在大多数应用中，通过模拟为空 K 函数建立了一个置信带，并且对观察到的 K 函数进行了重叠绘制以检测偏移。通过一些思考和经验，可以根据在特定距离聚集或不聚集的趋势来解释远足。

来自 Dixon (2001) 的 K 函数及其相关 L 函数的示例，同上。L 函数的构造使得是零处的水平线：一个很好的视觉参考。虚线是该特定研究区域的置信区间，通过模拟计算得出。实心灰色迹线是数据的 L 函数。距离 0-20 m 处的正偏移表明在这些距离处有一些聚类。$L(\rho)-\rho$

我发布了一个工作示例来回答https://stats.stackexchange.com/a/7984中的二维流形上的均匀分布是通过模拟估计的。$\mathbb{R}^3$

在R中，spatstat函数kest分别k3est计算和的 K 函数。在超过 3 个维度中，您可能是靠自己的，但算法将完全相同。您可以从距离矩阵进行计算（效率适中）。$n=2$$n=3$stats::dist

事实证明，这个问题比我想象的要难。尽管如此，我还是做了功课，环顾四周后，我发现了除了 Ripley 函数之外的两种方法来测试多个维度的均匀性。

我制作了一个名为 R 包unf，它实现了这两个测试。您可以在https://github.com/gui11aume/unf从github下载它。它的很大一部分是在 C 中，所以你需要在你的机器上用. 实现所依据的文章在包中是pdf格式的。R CMD INSTALL unf

第一种方法来自@Procrastinator 提到的参考文献（Testing multivariate uniformity and its applications, Liang et al., 2000），只允许在单位超立方体上测试均匀性。这个想法是通过中心极限定理设计渐近高斯的差异统计。这允许计算统计量，这是测试的基础。$\chi^2$

library(unf)
set.seed(123)
# Put 20 points uniformally in the 5D hypercube.
x <- matrix(runif(100), ncol=20)
liang(x) # Outputs the p-value of the test.
[1] 0.9470392

第二种方法不太传统，使用最小生成树。最初的工作是由Friedman & Rafsky在 1979 年进行的（包中的参考资料），以测试两个多变量样本是否来自同一分布。下图说明了原理。

来自两个二元样本的点被绘制为红色或蓝色，具体取决于它们的原始样本（左图）。计算二维池样本的最小生成树（中图）。这是边长总和最小的树。树分解为子树，其中所有点都具有相同的标签（右面板）。

在下图中，我展示了一个聚合蓝点的情况，这在流程结束时减少了树的数量，如您在右侧面板中所见。Friedman 和 Rafsky 计算了在此过程中获得的树数的渐近分布，从而可以进行测试。

1984 年， Smith 和 Jain开发了创建多变量样本均匀性通用测试的想法，并由 Ben Pfaff 在 C 中实现（包中的参考资料）。第二个样本在第一个样本的近似凸包中均匀生成，Friedman 和 Rafsky 的检验在双样本池上进行。

该方法的优点是它可以测试每个凸多元形状的均匀性，而不仅仅是超立方体。最大的缺点是测试具有随机分量，因为第二个样本是随机生成的。当然，可以重复测试并对结果进行平均以获得可重复的答案，但这并不方便。

继续之前的 R 会话，它是这样进行的。

pfaff(x) # Outputs the p-value of the test.
pfaff(x) # Most likely another p-value.

随意从 github 复制/分叉代码。

对是否是依赖 unifroms，其中且概率且概率，其中也是且独立于 ?$(U,Z)$$U \sim {\rm Uniform}(0,1)$$Z=U$$0<p<1$$W$$1-p$$W$${\rm Uniform}(0,1)$$U$

维中的独立随机变量，维单位立方体划分为一组具有相同边长的较小不相交的立方体。然后做一个测试均匀性。这只有在 n 像 3-5 一样小的情况下才能正常工作。$n$$n$$\chi^2$