看看这篇论文，它涵盖了关于概率度量空间的各种流行指标。我个人最喜欢的是总变化距离和 Wasserstein 距离（地球移动器距离）。$L^2$

我相信Earth Mover's Distance，也称为Wasserstein 度量，是满足您要求的示例。

对 KL 散度进行了一些修改，使其获得了一些度量属性（尽管不是全部）。

例如，Jeffrey 散度修改了 KL 散度以使其对称。

有一些特殊情况参见 [1]：“不幸的是，基于 Kullback-Leibler (KL) 散度和 Bhattacharyya 距离的传统度量不能满足许多​​算法所需的所有度量公理。在本文中，我们提出了对 KL 的修改散度和 Bhattacharyya 距离，对于多元高斯密度，将这两个度量转换为距离度量。”

[1] K. Abou-Moustafa 和 F. Ferrie，“A Note on Metric Properties for Some Divergence measure: The Gaussian Case”，JMLR：研讨会和会议论文集 25:1-15，2012。

我认为这个问题的答案是可能的。因为，最近在 2017 年，R. Farhadian 表明，在启发式整数子集上，它有可能是一个度量。对于他的工作，请参阅以下链接：http: //journals.univ-danubius.ro/index.php/oeconomica/article/view/4010