加文怎么样？

问题是我们不知道观察到了多少个零计数。我们必须对此进行估计。用于此类情况的经典统计程序是期望最大化算法。

一个简单的例子：

假设我们从泊松常数为 0.2 的未知人口（1,000,000）中抽取数据。

counts <- rpois(1000000, 0.2)
table(counts)

     0      1      2      3      4      5
818501 164042  16281   1111     62      3

但是我们没有观察到零计数。相反，我们观察到这一点：

table <- c("0"=0, table(counts)[2:6])

table

     0      1      2      3      4      5
     0 164042  16281   1111     62      3

观察到的可能频率

k <- c("0"=0, "1"=1, "2"=2, "3"=3, "4"=4, "5"=5)

初始化泊松分布的均值 - 猜测一下（我们知道这里是 0.2）。

lambda <- 1 

1. 期望 - 泊松分布

   P_k <- lambda^k*exp(-lambda)/factorial(k)
   P_k
                 0           1           2           3           4           5
   0.367879441 0.367879441 0.183939721 0.061313240 0.015328310 0.003065662  
   n0 <- sum(table[2:6])/(1 - P_k[1]) - sum(table[2:6])
   
   
   n0
          0
   105628.2     
   table[1] <-  105628.2
   

2. 最大化

   lambda_MLE <- (1/sum(table))*(sum(table*k))        
   lambda_MLE        
   [1] 0.697252        
   lambda <- lambda_MLE
   

3. 第二次迭代

   P_k <- lambda^k*exp(-lambda)/factorial(k)        
   n0 <- sum(table[2:6])/(1 - P_k[1]) - sum(table[2:6])       
   table[1] <-  n0 
   lambda <- (1/sum(table))*(sum(table*k))
   
   
    population lambda_MLE
   
   
   [1,]   361517.1  0.5537774
   

现在迭代直到收敛：

for (i in 1:200) {  
P_k <- lambda^k*exp(-lambda)/factorial(k)  
n0 <- sum(table[2:6])/(1 - P_k[1]) - sum(table[2:6])
table[1] <-  n0
lambda <- (1/sum(table))*(sum(table*k))
}
cbind( population = sum(table), lambda_MLE)
     population lambda_MLE
[1,]    1003774  0.1994473

我们的人口估计是 1003774，我们的泊松率估计是 0.1994473 - 这是抽样人口的估计比例。在您处理的典型生物学问题中，您将遇到的主要问题是假设泊松率是一个常数。

很抱歉这篇冗长的帖子 - 这个 wiki 并不适合 R 代码。

这听起来像是“标记和重新捕获”又名“捕获-重新捕获”的一种形式，这是生态学（以及其他一些领域，如流行病学）中的一种众所周知的技术。不是我的领域，而是维基百科上关于标记和重新捕获的文章看起来很合理，尽管您的情况不是林肯-彼得森方法解释的情况。

我认为 shabbychef 是适合您情况的正确方法之一，但是使用泊松分布来近似二项式可能会使事情变得更简单，并且如果人口规模非常大，应该是一个非常好的近似值，如您的示例所示。我认为获得人口规模的最大似然估计的明确表达应该非常简单（再次参见例如维基百科），尽管我现在没有时间计算细节。

您可以通过二项分布进行估计。如果从个对象（次有放回的绘制，则一个对象在一次绘制中被绘制一次的概率为。现在把它想象成一个硬币翻转。次试验个正面（即个重复）的概率。将此乘以以获得预期的观察次数（您的绘图）。对于较大，从数据中退出可能有点麻烦，但对于较小的$n$$k$$k$$P = \frac{1}{k}$$m$$m$$n$${n \choose m} P^m (1-P)^{n-m}$$n$$n$$k$$m$项等于，您可能会做得很好。$(1-P)$$1$

编辑：解决数字问题的一种可能方法是查看计数比率。也就是说，如果个正面的概率，那么等于。然后查看数据中重复计数的比率以获得的多个估计值，然后取中位数或平均值。$P_m$$m$$P_{m} / P_{m+1}$$(k-1)\frac{m+1}{n-m}$$k$