更数学的解释是空间，由所有收敛于 p 范数的级数组成，只有的希尔伯特，没有其他值。这意味着该空间是完整的，并且该空间上的范数可能由内积引起（想想中熟悉的点积），因此使用起来会更好一些。$l^p$$p=2$$R^n$

这里有几个原因：

1. 它以一种非常特殊的方式与内积相关：它是它自己的对偶范数（即它是“自对偶”）。
   这意味着，如果考虑单位球内的所有向量，它们与任何向量本身的范数。不那么花哨的是，它满足的属性。没有其他规范以这种方式表现。$\ell_2$$z$$\ell_2$$z$$\lVert x\rVert_2^2 = x \cdot x$$\ell_p$

2. 它有一个非常方便的平滑渐变： 你真的无法击败它！

   $$\nabla_x\ \lVert f(x)\rVert_2^2 = 2 \ \nabla f(x) \cdot f(x)$$

尽管可能有更多原因，但由于以下原因，AFAIK p=2 是首选：

• 相似度/不相似度的度量：对于 p=2，欧几里得范数给出了两个向量之间相似度或不相似度的度量，然后可以进一步用于更好地了解数据。可以在此处找到有关此问题的更详细答案。
• 正则化： L2 范数用于机器学习中的正则化，并且由于两个原因而被首选 - 1）它很容易区分 2）使用 L2 正则化，权重倾向于与权重成比例地减少。因此，与较小的权重相比，L2 正则化更多地惩罚较大的权重。

线性模型下的平方误差通常是首选，因为：

• 与正交性的关系，对于一些被视为噪声（不相关性）的随机现象表现良好
• 它是凸的和可微的，而不是$L_1$
• 当导数变成线性系统时，它会产生易于处理的优化算法

$L_1$通常被认为是组合复杂的严格稀疏性（非零项的计数）的方便代理或凸松弛，例如，参见对于线性方程的大多数大型欠定系统，最小 -范数解也是最稀疏的解决方案$\ell_1$。有些人倾向于使用 ,来强制执行更多的稀疏性，代价是“失去”凸性。$\ell_p$$0<p<1$

但是，计数度量对非零缩放不敏感。将向量乘以非零常数，非零项的数量将保持不变。因此，是阶齐次的，而范数或准范数都是 阶齐次的。即使不知何故， as，这种差异对我来说似乎是一个差距。$\ell_0$$\ell_0$$0$$\ell_p$$1$$\ell_p \to \ell_0$$p\to 0$

因此，与规范保持一致，一些人正在考虑（非凸）规范比率，例如 ，例如参见Euclid in a Taxicab 中的参考文献：Sparse Blind Deconvolution with Smoothed Regularization。$\ell_1 / \ell_2$$\ell_1 / \ell_2$