不 ，残差是$Y$值条件_$X$（减去预测平均值$Y$在每个点$X$）。你可以改变$X$任何你想要的方式（$X + 10$,$X^{-1/5}$,$X/\pi$) 和$Y$对应的值$X$在给定点的值$X$不会改变。因此，条件分布$Y$（IE，$Y | X$) 将是相同的。也就是说，它是否正常，就像以前一样。（为了更全面地理解这个话题，它可能会帮助你在这里阅读我的答案：如果残差是正态分布的，但 Y 不是？）

什么变化$X$可能做（取决于您使用的数据转换的性质）是改变之间的功能关系$X$和$Y$. 随着非线性变化$X$（例如，为了消除偏斜）之前正确指定的模型将被错误指定。的非线性变换$X$通常用于线性化之间的关系$X$和$Y$，使关系更易于解释，或解决不同的理论问题。

有关非线性变换如何改变模型以及模型回答的问题（重点是对数变换）的更多信息，阅读这些优秀的 CV 线程可能会有所帮助：

• 对数转换预测器的解释。
• 在线性回归中，什么时候适合使用自变量的对数而不是实际值？
• 何时（以及为什么）记录数字分布的对数？

线性变换可以改变参数的值，但不会影响函数关系。例如，如果您将两者都居中$X$和$Y$在运行回归之前，截距，$\hat \beta_0$， 会变成$0$. 同样，如果你划分$X$乘以一个常数（比如从厘米变为米），斜率将乘以该常数（例如，$\hat \beta_{1{\rm\ (m)}} = 100 \times \hat \beta_{1{\rm\ (cm)}}$， 那是$Y$1 米以上的高度是 1 厘米以上的 100 倍）。

另一方面，非线性变换$Y$ 会影响残差的分布。事实上，转型$Y$是标准化残差的常见建议。这种转换是否会使它们或多或少正常取决于残差的初始分布（而不是$Y$) 和使用的转换。一个常见的策略是优化参数$\lambda$Box-Cox 分布族。这里需要注意一点：非线性变换$Y$可以使您的模型错误指定，就像$X$能够。

现在，如果两者都 $X$和$Y$正常吗？实际上，这甚至不能保证联合分布是双变量正态分布（请参阅@cardinal 在这里的出色回答：是否有可能有一对联合分布不是 Gaussian 的高斯随机变量）。

当然，这些看起来确实是相当奇怪的可能性，那么如果边际分布看起来是正态的，而联合分布也看起来是二元正态的，这是否需要残差也服从正态分布呢？正如我试图在我上面链接的答案中展示的那样，如果残差是正态分布的，则$Y$取决于分布$X$. 然而，残差的正态性由边际的正态性驱动是不正确的。考虑这个简单的例子（用 编码R）：

set.seed(9959)              # this makes the example exactly reproducible
x = rnorm(100)              # x is drawn from a normal population
y = 7 + 0.6*x + runif(100)  # the residuals are drawn from a uniform population

mod = lm(y~x)
summary(mod)
# Call:
# lm(formula = y ~ x)
# 
# Residuals:
#     Min      1Q  Median      3Q     Max 
# -0.4908 -0.2250 -0.0292  0.2539  0.5303 
# 
# Coefficients:
#             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# (Intercept)  7.48327    0.02980   251.1   <2e-16 ***
# x            0.62081    0.02971    20.9   <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# 
# Residual standard error: 0.2974 on 98 degrees of freedom
# Multiple R-squared:  0.8167,  Adjusted R-squared:  0.8148 
# F-statistic: 436.7 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

在图中，我们看到两个边缘看起来都相当正态，联合分布看起来相当二元正态。尽管如此，残差的均匀性显示在他们的 qq 图中。相对于正态分布，两条尾巴都下降得太快（确实必须如此）。

简短的回答是在经典的简单回归理论中，X 是固定的并假设已知（参见，例如，http://www.theanalysisfactor.com/the-distribution-of-independent-variables-in-regression-models-2/ )，即使没有任何测量误差，您的最小二乘 beta 也可能存在偏差甚至不一致（请参阅https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&ei=Bd3sU4_kHfPjsATAm4LADA&url=https://files.nyu .edu/mrg217/public/measurement_handouts.pdf&cd=2&ved=0CCMQFjAB&usg=AFQjCNF_pZvocW1SzInQPYpQTifUsQ36kQ&sig2=4lAnOQO23FiZbZ7323jOzA )。

关于使 X 成为变量，关于高斯-马尔可夫定理的维基百科非常简要地指出，引用：

“在 OLS 的大多数处理中，假设数据X是固定的。这种假设被认为不适合像计量经济学这样的主要非实验科学。[2] 相反，高斯-马尔可夫定理的假设是以X为条件的”

我认为这是从科学到艺术或艺术/科学的一次重大的令人不快的转变。