重要性抽样与基本的蒙特卡罗方法具有完全相同的验证。它的核心是基本的蒙特卡罗。事实上，这只是参考测量的变化，从

$$\int h(x) f(x) \text{d}x$$ 到 $$\int h(x) \dfrac{f(x)}{g(x)} g(x) \text{d}x$$ 因此，在这两种情况下，收敛都是由大数定律保证的，即您是否从$f$或从$g$. 此外，如果术语 $$\int h^2(x) \dfrac{f^2(x)}{g(x)} \text{d}x$$ 是有限的，中心极限定理也适用，收敛速度为$\text{O}(1/\sqrt{n})$. 如果说它“在实践中需要这么长时间”，那是因为 CLT 中的上述方差因子可能相当大。但是，我坚持，速度和普通的蒙特卡洛一样，$\text{O}(1/\sqrt{n})$.

因此，重要性抽样分布的质量与上述方差因子直接相关，对于与$|h(x)|f(x)$.

西安覆盖了标准重要性抽样结果。如果您询问自标准化重要性抽样，您只知道$f$和$g$直到一些未知的归一化常数，一些技术在 Xi'an 和 Casella 书籍Monte Carlo Statistical Methods和Introducing Monte Carlo Methods with R的第 4 章中进行了讨论。我相信西安可以比我更详细地详细说明这一点，所以从某种意义上说，这个答案是诱饵。

使用自归一化重要性采样，您试图近似

$$\delta=\int h(x)f(x)\text{d}x$$ 通过选择$x_1,\ldots,x_n$来自密度函数与$g(x)$和计算 $$\hat{\delta}=\frac{\sum_{i=1}^n h(x)f(x)/g(x)}{\sum_{i=1}^n f(x)/g(x)}.$$ 使用 delta 方法（基本上取泰勒级数的线性项$X/Y$) 并让$\omega(X)=f(x)/g(X)$我们得到 $$E_g(\hat{\delta})\approx \delta + \frac{\delta \text{Var}_g(\omega(X))-\text{Cov}_g(\omega(X),h(X)\omega(X))}{n}$$ 和 $$\text{Var}_g(\hat{\delta})\approx\frac{\text{Var}_g(h(X)\omega(X))-2\delta\text{Cov}_g(\omega(X),h(X)\omega(X))+\delta^2\text{Var}_g(\omega(X))}{n}.$$

所以，直观地说，要获得小的偏差和小的方差，你想要$\text{Var}_g(\omega(X))$小而$\text{Cov}_g(\omega(X),h(X)\omega(X))$要积极。不幸的是，这些近似值并不完美（准确地确定方差和协方差可能与解决初始问题一样困难）。