最简单的方法是在相应的超立方体中均匀地采样点，并丢弃那些不在球体内的点。在 3D 中，这种情况不应该经常发生，大约 50% 的时间。（超立方体的体积为 1，球体的体积为$\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$.)

您也可以在球坐标中执行此操作，在这种情况下不会拒绝。首先随机生成半径和两个角度，然后使用过渡公式恢复$x$,$y$和$z$($x = r \sin \theta \cos \phi$,$y = r \sin \theta \sin \phi$,$z = r \cos \theta$）。

你生成$\phi$统一在$0$和$2\pi$. 半径$r$和倾向$\theta$虽然不统一。一个点在半径球内的概率$r$是$r^3$所以概率密度函数$r$是$3 r^2$. 您可以轻松检查统一变量的三次根是否具有完全相同的分布，因此您可以通过以下方式生成$r$. 点位于由倾角定义的球锥内的概率$\theta$是$(1-\cos\theta)/2$或者$1 - (1-\cos (-\theta))/2$如果$\theta > \pi/2$. 所以密度$\theta$是$sin(\theta)/2$. 您可以检查减去统一变量的反余弦是否具有适当的密度。

或者更简单地说，我们可以模拟$\theta$均匀地$-1$和$1$.

在 R 中，这将如下所示。

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

在编写和编辑此答案的过程中，我意识到解决方案没有我想象的那么简单。

我认为最简单和计算最有效的方法是按照@whuber的方法生成$(x,y,z)$在单位球体上，如这篇文章所示，并用$r$.

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

在我看来，也可以推广到更高维球的最简单的选择（这不是球坐标的情况，更不用说拒绝采样的情况）是生成随机点$P$是两个随机变量的乘积 $P = N/||N|| * U^{1/n}$在哪里$N$是归一化的高斯随机变量（即各向同性，即均匀指向任何方向），使其位于球体上并且$U$这是一个均匀随机变量$[0,1]$对权力$1/n$,$n$作为数据的维度，注意半径。

瞧！