$\beta_1$是一个想法 - 它在实践中并不真正存在。但是如果高斯-马尔科夫假设成立，$\beta_1$会在垂直于因变量的垂直“切片”上为您提供高于和低于其值的最佳斜率，从而形成一个很好的正态高斯残差分布。$\hat \beta_1$是估计$\beta_1$基于样本。

这个想法是您正在处理来自总体的样本。如果您愿意，您的样本会形成一个数据云。其中一个维度对应于因变量，您尝试拟合使误差项最小化的线 - 在 OLS 中，这是因变量在由模型矩阵的列空间形成的向量子空间上的投影。这些总体参数的估计值用$\hat \beta$象征。您拥有的数据点越多，估计的系数就越准确，$\hat \beta_i$是，并且这些理想化人口系数的估计越好，$\beta_i$.

这是斜率的差异（$\beta$相对$\hat \beta$) 在蓝色的“人口”和孤立的黑点中的样本之间：

回归线是黑色的虚线，而综合完美的“人口”线是纯蓝色。点的丰富性提供了残差分布的正态性的触觉。

“帽子”符号通常表示估计值，而不是“真实”值。所以$\hat{\beta}$是一个估计$\beta$. 一些符号有自己的约定：例如，样本方差通常写为$s^2$， 不是$\hat{\sigma}^2$，尽管有些人同时使用两者来区分有偏估计和无偏估计。

在您的具体情况下，$\hat{\beta}$值是线性模型的参数估计值。线性模型假设结果变量$y$由数据值的线性组合生成$x_i$s，每个由相应的加权$\beta_i$值（加上一些错误$\epsilon$)

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_n x_n + \epsilon$$

在实践中，当然，“真”$\beta$值通常是未知的，甚至可能不存在（也许数据不是由线性模型生成的）。尽管如此，我们可以从近似的数据中估计值$y$这些估计值表示为$\hat{\beta}$.

方程

$$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$$

就是所谓的真实模型。这个方程表示变量之间的关系$x$和变量$y$可以用一行来解释$y = \beta_0 + \beta_1x$. 然而，由于观测值永远不会遵循那个精确的方程（由于错误），额外的$\epsilon_i$添加错误术语以指示错误。误差可以解释为偏离关系的自然偏差$x$和$y$. 下面我展示两对$x$和$y$（黑点是数据）。一般来说，人们可以看到$x$增加$y$增加。对于这两对，真正的方程是

$$y_i = 4 + 3x_i + \epsilon_i$$ 但是这两个图有不同的错误。左边的图误差大，右边的图误差小（因为点更紧密）。（我知道真正的方程式，因为我自己生成了数据。一般来说，你永远不知道真正的方程式）

让我们看看左边的情节。真实的$\beta_0 = 4$和真实的$\beta_1$= 3. 但在实践中，当给定数据时，我们不知道真相。所以我们估计真相。我们估计$\beta_0$和$\hat{\beta}_0$和$\beta_1$和$\hat{\beta}_1$. 根据使用的统计方法，估计值可能会有很大差异。在回归设置中，估计值是通过称为普通最小二乘法的方法获得的。这也称为最佳拟合线法。基本上，您需要绘制最适合数据的线。我不是在这里讨论公式，而是使用 OLS 的公式，你会得到

$$\hat{\beta}_0 = 4.809 \quad \text{ and } \quad \hat{\beta}_1 = 2.889$$

得到的最佳拟合线是，

一个简单的例子是母亲和女儿的身高之间的关系。让$x =$妈妈的身高和$y$=女儿的身高。自然地，人们会期望更高的母亲有更高的女儿（由于遗传相似性）。但是，你认为一个方程可以准确地概括出一对母女的身高，这样如果我知道母亲的身高，我就能预测出女儿的准确身高吗？不会。另一方面，人们也许可以借助 一个平均的陈述来总结这种关系。

TL博士：$\beta$是人口真理。它代表了未知的关系$y$和$x$. 因为我们不能总是得到所有可能的值$y$和$x$，我们从总体中收集样本，并尝试估计 $\beta$使用数据。$\hat{\beta}$是我们的估计。它是数据的函数。$\beta$不是数据的函数，而是事实。