简短的回答

在估计准/泊松模型中条件均值的回归系数向量时，过度离散并不重要！如果你忘记了这里的过度离散，你会没事的，将 glmnet 与泊松族一起使用，只关注你的交叉验证预测误差是否低。

资格如下。

Poisson、Quasi-Poisson 和估计函数：

我之所以这么说是因为泊松或准泊松模型中的过度分散 (OD) 会影响与分散有关的任何事情（或方差或尺度或异质性或扩散或任何你想称之为的），因此会对标准产生影响误差和置信区间，但保留条件均值的估计值$y$（称为$\mu$) 原封不动。这尤其适用于均值的线性分解，例如$x^\top\beta$.

这是因为条件均值系数的估计方程对于泊松和准泊松模型实际上是相同的。准泊松根据均值和附加参数（例如$\theta$） 作为$Var(y)=\theta\mu$（与泊松$\theta$=1)，但$\theta$在优化估计方程时并不相关。就这样$\theta$在估计中没有任何作用$\beta$当条件均值和方差成比例时。因此点估计$\hat{\beta}$准和泊松模型是相同的！

让我用一个例子来说明（注意需要滚动才能看到整个代码和输出）：

> library(MASS)
> data(quine) 
> modp <- glm(Days~Age+Sex+Eth+Lrn, data=quine, family="poisson")
> modqp <- glm(Days~Age+Sex+Eth+Lrn, data=quine, family="quasipoisson")
> summary(modp)

Call:
glm(formula = Days ~ Age + Sex + Eth + Lrn, family = "poisson", 
    data = quine)

Deviance Residuals: 
   Min      1Q  Median      3Q     Max  
-6.808  -3.065  -1.119   1.819   9.909  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  2.71538    0.06468  41.980  < 2e-16 ***
AgeF1       -0.33390    0.07009  -4.764 1.90e-06 ***
AgeF2        0.25783    0.06242   4.131 3.62e-05 ***
AgeF3        0.42769    0.06769   6.319 2.64e-10 ***
SexM         0.16160    0.04253   3.799 0.000145 ***
EthN        -0.53360    0.04188 -12.740  < 2e-16 ***
LrnSL        0.34894    0.05204   6.705 2.02e-11 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 2073.5  on 145  degrees of freedom
Residual deviance: 1696.7  on 139  degrees of freedom
AIC: 2299.2

Number of Fisher Scoring iterations: 5

> summary(modqp)

Call:
glm(formula = Days ~ Age + Sex + Eth + Lrn, family = "quasipoisson", 
    data = quine)

Deviance Residuals: 
   Min      1Q  Median      3Q     Max  
-6.808  -3.065  -1.119   1.819   9.909  

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   2.7154     0.2347  11.569  < 2e-16 ***
AgeF1        -0.3339     0.2543  -1.313 0.191413    
AgeF2         0.2578     0.2265   1.138 0.256938    
AgeF3         0.4277     0.2456   1.741 0.083831 .  
SexM          0.1616     0.1543   1.047 0.296914    
EthN         -0.5336     0.1520  -3.511 0.000602 ***
LrnSL         0.3489     0.1888   1.848 0.066760 .  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 13.16691)

    Null deviance: 2073.5  on 145  degrees of freedom
Residual deviance: 1696.7  on 139  degrees of freedom
AIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 5

正如你所看到的，即使我们在这个数据集中有 12.21 的强烈过度离散（由deviance(modp)/modp$df.residual），回归系数（点估计）根本没有变化。但请注意标准错误是如何变化的。

惩罚泊松模型中过度离散的影响问题

惩罚模型主要用于预测和变量选择，而不是（还）用于推理。所以使用这些模型的人对条件均值的回归参数感兴趣，只是缩小到零。如果惩罚相同，则从惩罚（准）可能性导出的条件均值的估计方程也不取决于$\theta$因此过度分散对于$\beta$在以下类型的模型中：

$g(\mu)=x^\top\beta + f(\beta)$

作为$\beta$对于形式的任何方差函数，以相同的方式估计$\theta \mu$，对于条件均值和方差成比例的所有模型也是如此。这就像在不受惩罚的泊松/准泊松模型中一样。

如果您不想从表面上看这个并避免数学，您可以在以下事实中找到经验支持glmnet，如果您将正则化参数设置为 0（因此$f(\beta)=0$）你最终会在泊松和准泊松模型的位置（请参阅下面的最后一列，其中 lambda 为 0.005）。

> library(glmnet)
> y <- quine[,5]
> x <- model.matrix(~Age+Sex+Eth+Lrn,quine)
> modl <- glmnet(y=y,x=x, lambda=c(0.05,0.02,0.01,0.005), family="poisson")
> coefficients(modl)
8 x 4 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
                    s0         s1         s2         s3
(Intercept)  2.7320435  2.7221245  2.7188884  2.7172098
(Intercept)  .          .          .          .        
AgeF1       -0.3325689 -0.3335226 -0.3339580 -0.3340520
AgeF2        0.2496120  0.2544253  0.2559408  0.2567880
AgeF3        0.4079635  0.4197509  0.4236024  0.4255759
SexM         0.1530040  0.1581563  0.1598595  0.1607162
EthN        -0.5275619 -0.5311830 -0.5323936 -0.5329969
LrnSL        0.3336885  0.3428815  0.3459650  0.3474745

那么 OD 对惩罚回归模型有什么作用呢？正如您可能知道的那样，关于计算惩罚模型的标准误差的正确方法仍然存在一些争论（参见例如，此处）并且glmnet无论如何都不会输出任何内容，可能是因为这个原因。OD 很可能会影响模型的推理部分，就像它在非惩罚案例中所做的那样，但除非在这种情况下就推理达成一些共识，否则我们不会知道。

顺便说一句，如果一个人愿意采用贝叶斯观点，其中惩罚模型只是具有特定先验的标准模型，那么人们可以将所有这些混乱抛在脑后。