答案是肯定的，你在$\ell_2$中有一个图形证明。

查找向量范数等价的定义。你会发现

$$\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq \sqrt{n}\|x\|_2,$$ 其中$n$是向量$x$的维数。因此，与\ell_1范数相比， \ell_2 范数有一些回旋余地。$\ell_2$$\ell_1$

实际上，您要解决的问题可以表述为：

求$d$满足

$$\|x + d\|_2 > \|x\|_2$$ ，同时 $$\|x + d\|_1 < \|x\|_1.$$

将第一个不等式平方，展开并看到

$$2\sum_i x_id_i > -\sum_i d_i^2$$ 并且通过假设$x_i\geq0$和$x_i+d_i\geq0$，我们从第二个不等式得到我们必须有 $$\sum_i d_i < 0.$$ 任何满足这些约束的$d$都会增加$\ell_2$ ell_2 范数，同时减少$\ell_1$范数。

在您的示例中，$d\approx[-0.4, 0.3]^T$，$x:=P\approx[0.5, 0.6]^T$和

$$\sum_i d_i\approx-0.1<0,$$ 和 $$2\sum_i P_id_i\approx-0.04 > -0.25 \approx -\sum_i d_i^2.$$

感谢@TommyL 的回答，但他的回答并不直接针对和的构造。我自己以某种方式“解决”了这个问题。首先，当增加时，单调减少不会增加。这发生在是正交的时，我们有$X$$y$$\lambda$$\|\beta^*\|_2$$\beta^*_i$$X$

$$\beta^*_i=\mathrm{sign}(\beta_i^{\mathrm{LS}})(\beta_i^{\mathrm{LS}}-\lambda)_+$$

在几何上，在这种情况下范数的轮廓移动不能增加。$\beta^*$$\ell_1$$\|\beta^*\|_2$

实际上，Hastie 等人。在论文Forward stagewise regression and the monotone lasso中提到，轮廓路径单调性的充分必要条件：

在论文的第 6 节中，他们构建了一个基于分段线性基函数的人工数据集，该数据集违反了上述条件，显示了非单调性。但如果运气好的话，我们还可以创建一个随机数据集，以更简单的方式展示类似的行为。这是我的 R 代码：

library(glmnet)
set.seed(0)
N <- 10
p <- 15
x1 <- rnorm(N)
X <- mat.or.vec(N, p)
X[, 1] <- x1
for (i in 2:p) {X[, i] <- x1 + rnorm(N, sd=0.2)}
beta <- rnorm(p, sd=10)
y <- X %*% beta + rnorm(N, sd=0.01)
model <- glmnet(X, y, family="gaussian", alpha=1, intercept=FALSE)

我故意让的列高度相关（远离正交情况），并且真正的有很大的正负条目。这是的配置文件（毫不奇怪，只有 5 个变量被激活）：$X$$\beta$$\beta^*$

以及和之间的关系：$\lambda$$\|\beta^*\|_2$

所以我们可以看到对于的某个区间，随着的增加而增加。$\lambda$$\|\beta^*\|_2$$\lambda$