我是这样解释这个问题的：假设据称采样是按如下方式进行的$363$一张白纸票放在一个罐子里，每张都标有一个人的名字，$232$充分搅拌罐内内容物后随机取出。预先，$12$的门票被涂成红色。恰好有两张被选中的票是红色的可能性有多大？最多两张票是红色的概率是多少？

可以得到一个精确的公式，但我们不需要做那么多的理论工作。相反，我们只是跟踪从罐子中取出门票的机会。当时$m$其中一些已被撤回，让机会$i$红票已经看到被写$p(i,m)$. 要开始，请注意$p(i,0)=0$如果$i\gt 0$（在开始之前你不能有任何红票）和$p(0,0)=1$（可以肯定你一开始没有红票）。现在，在最近的抽奖中，彩票要么是红色的，要么不是。在第一种情况下，我们以前有机会$p(i-1,m-1)$确切地看到$i-1$红票。然后我们碰巧从剩下的地方拉了一个红色的$363 - m + 1$门票，准确无误$i$到目前为止红票。因为我们假设所有彩票在每个阶段都有相同的机会，因此我们以这种方式绘制红色的机会是$(12-i+1) / (363 - m + 1)$. 在另一种情况下，我们有机会$p(i,m-1)$准确地获得$i$以前的红票$m-1$抽奖，并且在下一次抽奖时不向样本添加另一张红票的机会是$(363 - m + 1 - 12 + i) / (363 - m + 1)$. 因此，使用概率的基本公理（也就是说，两个互斥情况的机会相加，条件机会相乘），

我们递归地重复这个计算，布置一个三角形的值数组$p(i,m)$为了$0\le i\le 12$和$0 \le m \le 232$. 经过一点计算，我们得到$p(2,232) \approx 0.000849884$和$p(0,232)+p(1,232)+p(2,232)\approx 0.000934314$，回答问题的两个版本。这些都是很小的数字：无论你怎么看，它们都是非常罕见的事件（少于千分之一）。

作为仔细检查，我用计算机进行了 1,000,000 次这个练习。在这些实验的 932 = 0.000932 中，观察到 2 个或更少的红票。这与计算结果非常接近，因为 934.3 的期望值的采样波动约为 30（向上或向下）。以下是在 R 中进行模拟的方式：

> population <- c(rep(1,12), rep(0, 363-12)) # 1 is a "red" indicator
> results <- replicate(10^6, 
             sum(sample(population, 232)))   # Count the reds in 10^6 trials
> sum(results <= 2)                          # How many trials had 2 or fewer reds?
[1] 948

这一次，因为实验是随机的，结果发生了一些变化：在 948 万次试验中观察到两张或更少的红票。这仍然与理论结果一致。）

结论是，232 张罚单中的两张或更少是红色的可能性很小。 如果您确实有 363 人中的 232 人的样本，则此结果强烈表明罐中票模型不能正确描述如何获取样本。 其他解释包括（a）红色票更难从罐子中取出（对他们的“偏见”）以及（b）在观察样本后票被着色（事后数据窥探，确实不表示任何偏见）。

一个解释（b）在行动中的例子是一个臭名昭著的谋杀案审判的陪审团。假设它包括 363 人。从那个池子中，法院采访了其中的 232 人。一位雄心勃勃的报社记者仔细查看了池中每个人的履历，发现 363 人中有 12 人是金鱼爱好者，但只有两人接受了采访。法院对金鱼爱好者有偏见吗？可能不是。

@whuber 给出了详尽的解释，我只想指出，有一个标准的统计分布对应于这个场景：超几何分布。因此，您可以直接在 R 中获得任何此类概率：

12 个中恰好有 2 个被选中的概率：

   > dhyper(2, 12, 363-12, 232)
   [1] 0.0008498838

选择 12 个或更少的概率：

   > phyper(2, 12, 363-12, 232)
   [1] 0.000934314

几率远高于使用简单超几何分布计算得出的概率，因为该组不是随机选择的（“抽签前 12 条鱼被涂成红色”）。

根据问题的描述，我们正在测试抽奖中的欺诈行为。特定的12人组抱怨只有2人被选中，而预期人数为232/363~2/3=8。

我们真正需要计算的是“没有12 人的团体只会选择 2 名成员”的几率是多少。至少一个小组有 2 个或更少的几率（因此会抱怨平局的公平性）要高得多。

当我运行此模拟并检查 30 个 (=360/12) 组中有多少试验没有 2 个或更少的选择时，我得到了大约2.3%的时间。1:42很低，但并非不可能。

您仍然应该检查抽奖程序，因为它可能对特定人群有偏见。他们可能聚集在一起并以较小的概率（例如，第一个或最后一个数字）或任何与抽签过程有关的因变量获得了一个抽签范围。但如果你在程序中没有发现任何缺陷，你可以回到 1:42 的赔率，这对小组来说简直就是运气不好。