在多项式的情况下，没有内在的排序；相反，在序数回归的情况下，级别之间存在关联。例如，如果您检查具有和作为独立级别，编码一个多项式变量。如果您有一个新变量是 levels ，并且代表某种增加的紧迫性，那么它们将定义一个序数变量。$V1$greenyellowred$V1$$V2$greenyellowred

那么这些变量将如何编码：

在多项式变量的情况下，该变量被编码为指示矩阵。can be 、can be和red的任意编码。在序数变量的情况下，编码有点不同。如果您处于该级别，则假定您已达到并超过该级别。类似地，如果你在那个层次中，你已经达到了和层次，现在你在层次中。因此，该值的编码类似于. 对于，对于，。green[1 0 0]yellow[0 1 0][0 0 1]yellowgreenredgreenyellowredgreen[1 0 0]yellow[1 1 0]red[1 1 1]

所以对于具有 7 个样本的多项式看起来像：$V1$

$$\begin{align} V1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

而具有 7 个样本的序数看起来像：$V2$

$$\begin{align} V2 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{align}$$

请注意，在这两种情况下，您都在编码相同的信息。即red, red, yellow, green, green, green, yellow. 和之间的差异现在很明显，如果您尝试在中拟合模型，该模型几乎肯定无法预测。这些模型的估计程序实际上并没有太大的不同。在不详细说明的情况下，它们都依赖于数值优化，其中广泛使用了一种称为Fisher 评分的方法。$V1$$V2$$V1$$V2$

现在让我们看一个使用 R 的实际示例。我们定义一个多项式变量V1，然后使用它来定义序数变量V2。对于现实生活中的设置，我们只有不相关的信息，这些信息被编码在GarbageInfo. （我使用包中的函数multinom来nnet拟合多项式，使用包中的函数polr来MASS拟合有序 logit，您可以直接从这些函数的文档中获取更多信息。）

set.seed(1234);
N = 100;
V1 = sample(c('green','yellow','red'), N, replace = TRUE)
V2 = ordered(V1, c('green', 'yellow', 'red'))
GarbageInfo = runif(N); # This is used only for illustration purposes
m1 = nnet::multinom(V1 ~ GarbageInfo)
m2 = MASS::polr(V2 ~ GarbageInfo)

然后我们检查模型摘要并注意到非常有趣。

> summary(m1)
Call: nnet::multinom(formula = V1 ~ GarbageInfo)

Coefficients:
       (Intercept) GarbageInfo
red     -0.6011338  -0.1331142
yellow  -0.3221203  -0.5995860

Std. Errors:
       (Intercept) GarbageInfo
red      0.5164521   0.8448432
yellow   0.4932972   0.8380932
...


> summary(m2)
...
Call: MASS::polr(formula = V2 ~ GarbageInfo)

Coefficients:
              Value Std. Error t value
GarbageInfo -0.2181     0.6431 -0.3391

Intercepts:
             Value   Std. Error t value
green|yellow -0.1541  0.3910    -0.3941
yellow|red    0.9856  0.4045     2.4364
...

虽然在m1您的截距是针对red和yellow针对green基线定义的情况下，截距m2定义为green|yellowand yellow|red，即。它们是切点而不是简单的截取。此外，您的可变GarbageInfo系数在m2在序数回归的情况下贯穿整个模型，而不是在多项式的情况下为每个级别独立估计。那是因为您利用了这样一个事实，即您的数据包含更多信息，并且（在这种情况下）您拥有额外的自由度。这让我们回到这篇文章的第一句话：多项式和有序变量（以及它们各自的）回归过程是不同的，因为它们编码不同的信息。