你不能从这里到达那里。图中的基本样条曲线并不是对您提供的方程的直接代数操作——至少对我来说并不简单。但这不是他们的来源。

基函数来自关于 B 样条的各种理论结果。样条函数是通过接近（或内插）采样函数值（结点）的最平滑函数。可以证明，这种优化的解决方案在于由分段多项式组成的有限维函数空间——其程度取决于您想要多少平滑度。多项式中的扭结发生在结点处。

所以现在我们去寻找合理的基函数。在你的情况下，你有分段线性函数..所以最简单的分段线性函数是一个帐篷函数......并且帐篷杆必须出现在一个结点，因为那是我们获得可微性中断的地方。R 提供的基函数不是唯一的选择，但它们产生了很好的能带矩阵，便宜且易于反转和以其他方式操作。

请注意，您的基函数还必须尊重您自己设置的问题的边界条件。上面的基函数只会给出函数。如果我将常量函数添加到我的基础中，我可以使用对函数进行插值。$s(0)=0$$s(0)=c$

现在说服自己上面显示的帐篷函数是必要样条空间的基础。考虑一下当您添加上面说明的函数的线性组合时会发生什么：它们都将具有线性部分，在结点处有扭结。这些都不能从其他人那里获得。最后，你需要证明你有正确的数量（我不记得公式，关于样条空间的尺寸，就结的数量和多边形的度数而言）。

通过增加多项式的次数可以获得更平滑的结果——你可以有分段二次或三次（通常的选择），然后你的基函数看起来像一个以结点为中心的铃铛序列。$\ldots$

方程中截断的多项式也可用于构建样条平滑器或插值，但它们不具有帐篷函数的有吸引力的数值属性......所以这就是 R 不提供它们的原因。

我不会尝试从上面引用的参考资料中了解样条函数。Ramsay 和 Hooker使用 R 和 Matlab 进行的功能数据分析在理论上与 R 中的实现联系在一起。您还可以挖掘 Kimeldorf 和 Wahba 关于平滑和插值样条曲线的原始论文。

我知道这是一个老问题，但也许我的回答将来对某人有用。

它在截断多项式函数基 (TPF) 和 B 样条之间存在联系。例如，在以下论文中对此进行了讨论：

1. Paul HC Eilers 和 Brian D. Marx - Splines、Knots 和 Penalties，WIREs 计算统计（2010 年）。
2. Harald Binder, Willi Sauerbrei - 通过去除结来增加加性样条模型的实用性，CSDA (2008)

我的答案将遵循 ref.1（可以在此处找到更多详细信息）。为了保持符号简单，我将使用在等间距节点上定义的 B 样条。我将用表示横坐标点的向量，并用表示一系列等间距的结。然后，通过计算得到 阶TPF基 1 阶 TPF 看起来像这样$x$$t_{1} < t_{2} <...$$p$

$$f^{p}_{ij}(x_{i}, t_{j}) = (x_{i} - t_{j})^{p} I (x_{i} > t_{j})$$

我们如何才能将这些折线“转换”成“三角形”？使这成为可能的算子是差分算子：B 样条可以计算为（适当缩放的）相邻 TPF 的差异。1 次 B 样条基（原始问题中的三角形之一）可以得到：

$$B^{1}_{j}(x) = \frac{f_{j-2}^{1}(x) - 2 f^{1}_{j-1}(x) + f^{1}_{j}(x)}{h}$$

其中是 2 个连续结点之间的距离（这里是常数，因为我假设结点间距相等）。通过将此操作应用于上述 3 个 TPF，我们得到：$h = t_{2} - t_{1} = \mbox{const}$

当然，该公式可以推广到任意程度： 其中是阶差分算子。再一次，这仅适用于等间距的结。如果连续结点之间的距离不是常数，则可以使用更复杂的变换。$p$

$$B^{p}_{j}(x) = (-1)^{p+1} \frac{\Delta^{p+1} f_{j}^{p}(x)}{h^{p} p!}$$ $\Delta^{p+1}$$p+1$

重现我的示例的代码相当简单（见下文）。请注意，与原始问题不同，我将使用 R 函数 splineDesign() 创建 B 样条。bs() 函数实际上是基于 splineDesign() 的（参见 bs() 的帮助页面）。

# Libraries
library(colorout)
library(scales)

# Get some data
set.seed(1)
n = 100
x = seq(0, 1, len = n)

# B-splines stuffs
xr    = max(x)
xl    = min(x)
ndx   = 4
deg   = 1
dx    = (xr - xl) / ndx
knots = seq(xl - deg * dx, xr + deg * dx, by = dx)
B     = splineDesign(knots = knots, x = x, ord = deg + 1, 
                derivs = 0, outer.ok = TRUE)

# Compute tpf basis and B-slines from them
tpower = function(x, t, p)  (x - t) ^ p * (x > t)
P = outer(x, knots, tpower, deg)

# Plot TPFs 
matplot(x, P[, 3:5], pch = 16, col = alpha(1:3, 0.5), 
         ylab = "")
matlines(x, P[, 3:5], pch = 16, lty = 1, 
                col = alpha(1:3, 0.5))

# Compute B-splines as differences of TPFs
Bp = t(apply(P, 1, diff, diff = 2)) / dx

# Plot single B-spline and compare with splineDesign
plot(x, Bp[, 3], pch = 16, ylab=" ")
lines(x, B[, 3], pch = 16, lty = 1)

# Compare all with splineDesign B-splines
matplot(Bp,col = alpha(1:ncol(Bp), 0.5), pch = 16)
matlines(B,col = alpha(1:ncol(Bp), 0.5), lty = 1)

希望这在某种程度上有所帮助，并且它（至少部分地）回答了原始问题。