在输入向量中包含常数1是包含偏差（考虑 Y 截距）但保持表达式的所有项对称的常见技巧：您可以在任何地方写$\beta X$而不是$\beta_0 + \beta X$ X。

如果你这样做，那么超平面包括原点是正确的，因为原点是一个相乘得到值。$Y = \beta X$$0$$\beta$$0$

但是，您的输入向量的第一个元素将始终等于；因此它们永远不会包含原点，并且将被放置在一个较小的超平面上，该超平面的维度少一维。$1$

您可以通过考虑纸上来形象化这一点（二维）。相应的超平面，如果你包括偏置你的向量变成和你的系数。在 3 维中，这是一个从原点经过的平面，它与平面相交，生成可以放置输入的线。$Y=mx+q$$q$$X = [x, x_0=1]$$\beta = [m, q]$$x_0=1$

为了帮助您理解这一点，我对一个非常简单的案例进行了可视化。

假设我们有一个一维问题（p=1），因此单个特征（输入变量）来预测单个输出变量。假设我们已经为输入变量和系数。$X_1$$Y$$\beta_0 = 5$$\beta_1 = 2$$X_1$

我们的线性模型看起来像：。$\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 \times X_1$

因此，在这种情况下（2d），明显的表示将是（p+1）维空间中的超平面（一条线）：

另一种表示是添加另一个变量，这将导致以下等式：。$X_0$$\hat{Y} = \beta_0 \times X_0 + \beta_1 \times X_1$

在实践中，我们知道将是一个常数并等于 1，但我们假设它还没有固定。在这种情况下，我们现在可以绘制一个带有超平面的 3d 图，如下所示：$X_0$

最后，因为我们知道只有是可能的，所以我用红色虚线突出显示了这个超平面的唯一工作投影，它与我们之前的绘图完全对应。$X_0 = 1$

我相信这里的两个答案都是不正确的，因为教科书本身是不正确的，所以他们试图证明一个不正确的概念是正确的。请参阅用户 Jean-Claude Arbaut 的这个答案。