让我提出一个公认有点无聊的反例。假设不仅在渐近上比更有效，而且还达到了 Cramer Rao 下界。的一个巧妙的收缩技术是： with中。的渐近方差为 其中最后一个等式使用引理在豪斯曼的论文中。我们有 $\hat{\beta}_1$$\hat{\beta}_2$$\hat{\beta}_2$

$$\hat{\beta}_2^\ast = w \hat{\beta}_2 + (1 - w) \hat{\beta}_1$$ $w\in(0,1)$$\hat{\beta}_2^\ast$ $$V^\ast = \mathbb{Avar}(w \hat{\beta}_2 + (1 - w) \hat{\beta}_1) = \mathbb{Avar}(w (\hat{\beta}_2 - \hat{\beta}_1) + \hat{\beta}_1 ) = V_1 + w^2 (V_2 - V_1)$$ $$V_2 - V^\ast = V_2(1-w^2) - V_1(1-w^2) \geq 0$$ 因此存在渐近风险改善（没有偏差项）。提供了一些渐近（因此希望是有限样本）的改进。然而，从这个过程中没有类似的收缩估计器$\hat{\beta}_2$$\hat{\beta}_1^\ast$

当然，这里的重点是收缩是针对有效估计器进行的，因此不适用于有效估计器本身。这在高层次上似乎很明显，但我猜在一个具体的例子中这不是那么明显（均匀分布的 MLE 和矩量法估计器可能就是一个例子？）。

这是一个有趣的问题，我想首先指出一些亮点。

• 两个估计量一致
• $\hat{\beta}_1$比更有效，因为它实现的变化更少$\hat\beta_2$
• 损失函数不一样
• 一种收缩方法应用于一种方法，以减少其本身最终成为更好估计器的变化
• 问题：换句话说，如果巧妙地应用收缩，它 对于更有效的估计器是否总是更好？

从根本上说，可以在某个框架中改进估计器，例如无偏估计器类。但是，正如您所指出的，不同的损失函数会使情况变得困难，因为一种损失函数可以最小化二次损失，而另一种可以最小化熵。此外，使用“总是”这个词非常棘手，因为如果一个估算器是同类中最好的，从逻辑上讲，你不能声称有更好的估算器。

举一个简单的例子（在同一框架中），让两个估计量，即 Bridge（带有范数惩罚的惩罚回归）和 Lasso（第一范数惩罚似然）和一组稀疏参数，即，一个线性模型，误差项的正态性，，已知，二次损失函数（最小二乘误差），以及中协变量的独立性。让第一个估计器选择，。然后您可以通过选择$l_p$$\beta$$y=x\beta+e$$e\sim N(0,\sigma^2<\infty)$$\sigma$$x$$l_p$$p=3$$p=2$$p\rightarrow 1$这最终得到了一个更好的估计器，具有更低的方差。那么在这个例子中就有机会改进估计器。

所以我对你的问题的回答是肯定的，因为你假设相同的估计器家族和相同的损失函数以及假设。