我知道 PCA 的目标是降低维度

这通常是人们所假设的，但实际上 PCA 只是您的数据在正交基础上的表示。这个基础仍然与您的原始数据具有相同的维度。什么都没有丢失……但是。降维部分完全取决于您。PCA 确保新投影的个维度是您的数据可能表示为的最佳最好是什么意思？这就是解释的差异所在。$k$ $k$

显然不是在这种情况下

我不会那么肯定！从您的第二个图中，从视觉上看，您的数据中的很多信息都可以投影到水平线上。那是一维，而不是二维的原始图！显然，由于您正在移除 Y 轴，您会丢失一些信息，但是您是否可以接受这种信息丢失，这是您的决定。

网站上有很多关于 PCA 是什么的问题，因此我鼓励您在此处、此处、此处或此处查看它们。如果您在那之后还有其他问题，请发布它们，我很乐意提供帮助。

作为您的实际问题：

PCA 情节中关于温度与冰淇淋的故事是什么？

既然新的坐标轴是原坐标的线性组合，那么……基本上什么都没有！PCA 会给你一个答案，比如（数字组成）：

$$\begin{split} \mathrm{PC1} &= 2.5\times \text{ice cream} - 3.6\times \text{temperature}\\ \mathrm{PC2} &= -1.5\times \text{ice cream} + 0.6\times \text{temperature} \end{split}$$

这对你有用吗？也许。但我猜不是:)

已编辑

我将添加这个我认为很有帮助的资源，因为交互式图表很酷。

再次编辑

澄清最佳 的含义：$k$

当数据投影到它们上时，PCA 试图找到产生最高方差的维度。假设您的数据有维，前维可以解释更多的数据差异。这就是我所说的最佳的意思。这对你是否有用是另一回事。$n > k$$k$$k$ $k$

对于 Ilan man 的好答案，我要补充一点，对您的主要成分有一个非常简单的解释，尽管在这个简单的 2D 案例中，它并没有增加我们仅查看散点图就可以解释的内容。

第一个 PC 是温度和冰淇淋消费的加权和（即两个系数均为正的线性组合）。在右边，你有卖很多冰淇淋的热天，在左边，你有冷天，卖的冰淇淋更少。该 PC 解释了您的大部分差异，并且您获得的组与这两个方面相匹配。

第二台 PC 测量温度和冰淇淋消费如何远离第一台 PC 强调的密切线性关系。在图表的上半部分，与相同温度下的其他日子相比，我们销售的冰淇淋更多的日子，而在下半部分，根据温度，销售的冰淇淋比预期的少。那台电脑只解释了一小部分差异。

也就是说，我们可以从主成分中讲述一个故事，尽管只有两个变量，这与没有 PCA 时我们可以注意到的故事相同。有了更多变量，PCA 变得更有用，因为它讲述了其他情况下更难注意到的故事。