好吧，让我们看看你的情况。您基本上有两个回归（APD = 前后径，NOL = 鼻枕长度，HL = 肱骨长度）：

1. $APD=\beta_{0,1} + \beta_{1,1}\cdot NOL$
2. $HL=\beta_{0,2} + \beta_{1,2}\cdot NOL$

检验假设$\beta_{1,1}=\beta_{1,2}$，您可以执行以下操作：

1. 创建一个新的因变量 ($Y_{new}$) 只需将APD附加到 HL
2. 通过将NOL附加到自身来创建一个新的自变量($X_{new}$)（即复制 NOL）
3. 创建一个虚拟变量 ($D$) 如果数据来自第二个数据集（使用 HL），则为 1，如果数据来自第一个数据集 (APD)，则为 0。
4. 计算回归$Y_{new}$作为因变量，主效应和相互作用$X_{new}$和虚拟变量$D$作为解释变量。编辑@Jake Westfall 指出，每个 DV 的两个回归的残差标准误差可能不同。Jake 提供的答案是拟合广义最小二乘模型 (GLS)，该模型允许残差标准误差在两个回归之间有所不同。

让我们看一个包含虚构数据的示例（in R）：

# Create artificial data

library(nlme) # needed for the generalized least squares

set.seed(1500)

NOL <- rnorm(10000,100,12)
APD <- 10 + 15*NOL+ rnorm(10000,0,2)
HL <- - 2  - 5*NOL+ rnorm(10000,0,3) 

mod1 <- lm(APD~NOL)
mod1

Coefficients:
(Intercept)          NOL
      10.11        15.00

mod2 <- lm(HL~NOL)
mod2

Coefficients:
(Intercept)          NOL
      -1.96        -5.00

# Combine the dependent variables and duplicate the independent variable

y.new <- c(APD, HL)
x.new <- c(NOL, NOL)

# Create a dummy variable that is 0 if the data are from the first data set (APD) and 1 if they are from the second dataset (HL)

dummy.var <- c(rep(0, length(APD)), rep(1, length(HL)))

# Generalized least squares model allowing for differend residual SDs for each regression (strata of dummy.var)

gls.mod3 <- gls(y.new~x.new*dummy.var, weights=varIdent(form=~1|dummy.var))

Variance function:
 Structure: Different standard deviations per stratum
 Formula: ~1 | dummy.var 
 Parameter estimates:
       0        1 
1.000000 1.481274 

Coefficients:
                    Value  Std.Error   t-value p-value
(Intercept)      10.10886 0.17049120    59.293       0
x.new            14.99877 0.00169164  8866.430       0
dummy.var       -12.06858 0.30470618   -39.607       0
x.new:dummy.var -19.99917 0.00302333 -6614.939       0

注：截距和斜率为$X_{new}$与第一个回归 (mod1) 中的完全相同。的系数dummy.var表示两个回归的截距之差。此外：第二次回归的残差标准差估计大于第一次回归的 SD（大约 1.5 倍大）。这正是我们在生成数据时指定的（2 对 3）。我们快到了：交互项 ( x.new:dummy.var) 的系数测试斜率的相等性。这里第二次回归（mod2）的斜率约为$\beta_{x.new} - \beta_{x.new\times dummy.var}$或大约$15-20=-5$. 的区别$20$正是我们在生成数据时指定的。如果你在 Stata 工作，这里有一个很好的解释。

警告：这只有在前后径和鼻枕长度（两个因变量）是独立的情况下才有效。否则它会变得非常复杂。

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该网站上的这两个帖子处理相同的问题：First和second。