您可以在逻辑函数中添加一个术语：

$$f(x; a, b, c, d, e)=\frac{a}{1+b\exp(-cx)} + dx + e$$

渐近线将有斜率。$d$

这是的示例：$a=10, b = 1, c = 2, d = \frac{1}{20}, e = -5$

最初我以为你确实希望水平渐近线仍然为；我把我原来的答案移到了最后。如果你想要那么反双曲正弦函数会起作用吗？ $0$$\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = \pm\infty$

$$\text{asinh}(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$$

这是无限的，但会像 for large看起来像 $\log$$|x|$

当我的尾巴很重但可能为零或负值时，我非常喜欢这个函数作为数据转换。

这个函数的另一个好处是所以它有一个很好的简单导数。$\text{asinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

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原始答案

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$令为我们的函数，我们假设 $f : \mathbb R\to\mathbb R$

$$\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = 0.$$

假设是连续的。修复。从渐近线我们有 并且类似地有一个使得。因此在之外是。并且是一个紧区间，因此连续性是有界的。$f$$\e > 0$

$$\exists x_1 : x < x_1 \implies |f(x)| < \e$$ $x_2$$x > x_2 \implies |f(x)| < \e$$[x_1,x_2]$ $f$$(-\e, \e)$$[x_1,x_2]$$f$

这意味着任何这样的函数都不能是连续的。像 这样的东西有用吗？

$$f(x) = \begin{cases} x^{-1} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$$

我将继续将评论变成答案。我建议 它的斜率趋向于零，但没有界限。

$$f(x) = \operatorname{sign}(x)\log{\left(1 + |x|\right)},$$

的流行需求，情节编辑： $|x|\le 30$