您可以使用完整与简化模型检验来检验此假设。这是你如何做到这一点的。首先，拟合模型并从该模型中获取残差。将残差平方并求和。这是完整模型的平方误差之和。我们称之为。接下来，计算其中。这些是您在零假设下的残差。将它们平方并总结。这是简化模型的平方误差之和。我们称之为。$Z = aX + bY$$SSE_f$$Z - \hat{Z}$$\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$$SSE_r$

现在计算：

F = ,$((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

其中是样本大小。在下，此 F 统计量遵循具有和自由度的 F 分布。$n$$H_0$$2$$n-2$

这是使用 R 的示例：

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

如果 p 值低于 0.05（如果您的确实是 0.05），则拒绝 null。$\alpha$

我假设你真的想让你的模型不包含拦截。换句话说，我假设您确实在使用模型而不是。$Z = aX + bY$$Z = c + aX + bY$

在线性回归中，假设和不是随机变量。因此，模型$X$$Y$

$$Z = a X + b Y + \epsilon$$

在代数上与

$$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$$

这里，和。误差项不受影响。拟合这个模型，分别估计系数为和，并以通常的方式检验假设。$\alpha = a - \frac{1}{2}$$\beta =b - \frac{1}{2}$$\epsilon$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\alpha = \beta = 0$

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写在问题末尾的统计量不是卡方统计量，尽管它在形式上与卡方统计量相似。卡方统计量涉及计数，而不是数据值，并且其分母中必须有预期值，而不是协变量。一个或多个分母可能为零（或接近零），这表明该公式存在严重错误。如果这还不能令人信服，请考虑、和的测量单位可以是任何单位（例如德拉姆、秒差距和配克），因此像这样的线性组合（通常）是没有意义的。它不测试任何东西。$\frac{x_i+y_i}{2}$$Z$$X$$Y$$z_i - (x_i+y_i)/2$