Hi~ 要了解变量的变化，我们可以先看一下Generative Adversarial Networks , Goodfellow et al (2014), eprint arXiv:1406.2661 中的图 1。

根据论文。

下面的水平线是从中的域，上面的水平线是的域的一部分。向上的箭头表示变换。$z$$x$$x = g(z)$

回到等式，很明显：

$$\int_z p_Z(z)\log(1-D(g(z))\,dz=E_{p_z}[\log(1-D(g(z))]$$

由于，我们可以用变量。另请注意，在这种情况下，是的分布。结果，我们有这个：$x = g(z)$$g(z)$$x$$p_g$$x$

$$E_{p_Z}[\log(1-D(g(z))] = E_{p_g}[\log(1-D(x))]$$

然后我们将期望扩展为一个积分形式：

$$E_{p_g}[\log(1-D(x))] = \int_x p_g(x)\log(1-D(x))\,dx$$

Q1：为什么 V(G,D) 的第一行改为的第二行？$V(G,D)$$V(G,D)$

的最大值，因此第一行的更好表示法可能是$V(G,D)$

$$\max[V(G,D)] = \max\left[\int_x p_\text{data}(x)\log(D(x))\,dx + \int_z p_Z(z) \log(1-D(g(z)))\,dz\right]$$

然后是第二行

$$\max[V(G,D)]= \max \left[ \int_x p_\text{data}(x)\log (D(x)) + p_g(x) \log(1-D(g(z))) \, dx\right]$$

在积分内部有的形式，它在中达到最大值。这意味着允许积分的最大和，这允许第一行通向第二行。$y → a \log(y) + b \log(1 − y)$$[0, 1]$$\frac a {a+b }$$z=x$

Q2：这样合适吗？

如果在。我认为问题表明除非。答案的形式为，其中和。$g'(z)=1$$\max[p_g(x)]$$\max[V(G,D)] \neq V(G,D)$$D^{*}_G(x) = \frac{p_\text{data}(x)}{p_\text{data}(x) + p_g(x)}$$\frac a {a+b }$$p_\text{data}(x)=a$$P_g(x)=b$

你基本上已经明白了。因此的定义（参见第 4 节理论结果的第一段）是当来自分布的分布。因此$p_g$$G(z)$$z$$p_z$

$$\int_z p_Z(z)\log(1-D(g(z))dz=E_{p_Z}[\log(1-D(g(z))]=E_{p_x}[\log(1-D(x))]$$

由于是从到的确定性映射，因此令，则 . 所以$z \mapsto G(z)$$\mathcal{Z}$$\mathcal{X}$$y = G(z)$$p(y|z) = \delta(y - G(z))$

$$\begin{split} \int_{\mathcal{X}} p_g(y)\log(1 - D(y)) dy & = \int_{\mathcal{X}} \left[\int_{\mathcal{Z}}p(z,y)dz\right]\log(1-D(y))dy \\ & = \int_{\mathcal{X}} \left[\int_{\mathcal{Z}}p(z)p(y|z)dz\right]\log(1-D(y))dy \\ & = \int_{\mathcal{X}} \left[\int_{\mathcal{Z}}p(z)dz\right]p(y|z)\log(1-D(y))dy \\ & = \int_{\mathcal{Z}}p(z)\left[\int_{\mathcal{X}}\delta(y - G(z))\log(1 - D(y))dy\right]dz \\ & = \int_{\mathcal{Z}}p(z)\left[\delta(y-G(z)) * \log(1-D(y))\right]dz \\ & = \int_{\mathcal{Z}}p(z)\log(1 - D(G(z)))dz. \end{split}$$

倒数第二行到最后一行是狄拉克δ函数的卷积性质。