这意味着当备选方案为真时，测试拒绝的概率（其能力）总是高于空值为真时的概率。

例如，假设您对 null 使用标准 t 检验$\theta\leq0$反对替代方案$\theta>0$. 标准拒绝规则$\alpha=0.05$如果$t>1.645$（对于来自正态分布的样本或渐近分布的样本，当中心极限定理适用时）。

现在，假设您要使用该规则（如果$t>1.645$） 去测试$\theta=0$反对$\theta\neq0$. 测试拒绝的概率将降低$\theta$，因为在这种情况下我们很少会观察到大的正 t 比率。特别是，这个测试是有偏见的，因为$\beta(\theta)<\alpha$什么时候$\theta\in\Theta_1\cap(-\infty,0)$.

具体来说，我们可以在正常情况下明确计算这个概率，$X_i\sim N(\theta,1)$， 和$\sigma^2=1$假定为简单起见。然后，t 统计量为$\theta=0$简直就是$t=\sqrt{n}\bar{X}$和

$$\sqrt{n}(\bar{X}-\theta)\sim N(0,1)$$ 因此， $$\begin{align*} \beta(\theta)&=P(t>1.645)\\ &=1-P(t<1.645)\\ &=1-P(\sqrt{n}(\bar{X}-\theta)<1.645-\sqrt{n}\theta)\\ &=1-\Phi(1.645-\sqrt{n}\theta), \end{align*}$$ 趋向于 0$\theta\to-\infty$.

图形化：

theta.grid <- seq(-.8,.8,by=.01)
n <- seq(10,90,by=20)
power <- 1-pnorm(qnorm(.95)-outer(theta.grid,sqrt(n),"*"))
colors <- c("#DB2828", "#40AD64", "#E0B43A", "#2A49A1", "#7A7969")
matplot(theta.grid,power, type="l", lwd=2, lty=1, col=colors)
legend("topleft", legend=paste0("n=",n), col=colors, lty=1, lwd=2)
abline(h=0.05)