基本上对偶成立，另请参阅关于对偶的这个问题：我们可以拒绝一个零假设，其置信区间是通过抽样而不是零假设产生的吗？

我可以想到两个理由说它不成立（见下文），但这不是因为二元性是错误的，而是更多关于细节和语义（每个孩子都有父母，但这并不意味着每个孩子和每个父母都是一对）。

不，不正确 1

没有单一的p 值和单一的置信区间。相反，有多种方法来定义 p 值和多种方法来定义置信区间。

因此，特定的置信区间和 p 值的特定构造不需要相互对应。

是的，正确 1

但是，存在对应关系，因此每个置信区间都可以用作假设检验，并且置信分布可以用于计算特定参数/假设的 p 值。

原因是置信区间包含参数 p% 的时间，无论真实参数是什么。

所以假设一个假设是真的，它在 ap% 置信区间之外的概率是 p%。如果使用置信区间，错误拒绝概率为 p%。

唯一不起作用的情况是置信区间不准确。例如，有时置信区间是近似值或估计值。但是，您应该允许 p 值具有相同的自由度，p 值也可以是近似值或估计值。

不，不正确 2

反过来不一定正确。对于每个 p 值（或更一般的 p 值的构造方法），您并不总是可以构造一个置信区间。相反，有时您会得到一个置信区域（一组不相交的区间）。

这通常是不正确的。我将提供一个简单的例子。

对二项式比例的流行检验源自中心极限定理。如果是结果的真实风险，那么渐近地，$\pi$

$$p \stackrel{d}{\approx} \mathcal{N}[\pi, \pi(1-\pi) / n]$$

其中是我们的估计风险，是我们的样本量。然后通过使用方差中的估计风险（Wald 检验）或空值下的风险（Score 检验）对该分布进行标准化，从而找到该检验。检验统计量为$p$$n$$p$

$$Z=\frac{p-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}}}$$

和相关的置信区间是

$$\left(\widehat{\pi}_{L}, \widehat{\pi}_{U}\right)=p \pm Z_{1-\alpha / 2} \sqrt{p(1-p) / n}$$

您在项目符号中的点对于此测试和相关的置信区间是正确的，因为后者是从前者派生的。但是，它们通常会失败，因为二项式存在许多不同的置信区间，所有这些区间都接近标称覆盖范围且宽度略有不同。可能是这样的情况，如上所示的比例检验产生的 p 值小到足以拒绝空值，但我发布的置信区间以外的置信区间覆盖了空值。$^{1.}$

我们可以用一些 R 代码来证明这一点。我将使用 Wilson 得分区间和渐近区间计算范围和结果的置信区间。您会看到它们并没有完全对齐，这意味着一些间隔覆盖了一些值，而另一些则没有，即使考虑到使用相同的数据来创建两者。因此，可以说使用一些间隔我们会拒绝 null，而使用其他间隔会导致拒绝 null 失败。

library(binom)


n = 20
x  = seq(0, n, 2)

a = binom.wilson(x, n)
b = binom.asymp(x, n)


plot(a$upper, b$upper, xlab = "Wilson Upper Limit", ylab='Asymptotic Upper Limit', type = 'l', col='red')
abline(0, 1)

参考

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1. Brown、Lawrence D.、T. Tony Cai 和 Anirban DasGupta。二项式比例和渐近展开的置信区间。统计年鉴30.1 (2002): 160-201。

是的，这两个公式是相同的，因为这只是置信区间的定义。形式上，如果您已经测量了参数，置信区间由 这个定义把错误概率平均分布在两边，所以它只相当于一个双边测试。与假设检验场景相比，概率中的条件为原假设，即$\theta_0$$\theta$$1-\alpha$$[\theta_1,\theta_2]$

$$\begin{eqnarray*}& & P(\hat{\theta} \geq \theta_0|\theta=\theta_1)=\alpha/2 \\ \mbox{and}\quad & & P(\hat{\theta}\leq \theta_0|\theta=\theta_2)=\alpha/2 \end{eqnarray*}$$ $[\theta_1,\theta_2]$只是拒绝区域的边界。

备注：有趣的是，大多数统计教科书对置信区间给出了不同的定义：。这个定义取决于未知参数值并且只允许在非常特殊的情况下求解：二项式比例的渐近正态近似（“Wald 区间”）（这是有问题的，正如所指出的）在其他答案中）和统计平均值的置信区间。我在中找到了一般定义$P(\theta\in[\theta_1,\theta_2])=1-\alpha$$\theta$$\theta_{1/2}$

DiCiccio，Efron：“引导置信区间。” 统计科学，第 189-228 页，1996