您仍然需要具有响应线性的原始变量的一个或多个函数。

您是正确的，线性回归在系数中是线性的，但是在系数乘以的事物中它同样是线性的。（这里我们说的是线性映射，而不是“具有直线关系”，尽管当预测变量中包含常数项时，这两者是相关的概念。）

对于多元回归，我们写$E(Y|\mathbf{x})= X\beta$， 在哪里$X$是实际提供给回归（和常数）的变量矩阵。这是线性的$\beta$但它在列中同样是线性的$X$.

在简单回归的情况下，例如，如果您可以编写一个方程$Y = \beta_0+\beta_1 t(x) + \epsilon$， 或者$E(Y|x)=\beta_0+\beta_1 t(x)$这在提供的变量中是线性的$(1,x^*)$， 在哪里$x^*=t(x)$.

如果你知道一个$t(x)$提供给回归，这意味着你不需要有一个直线关系$y$和$x$，但仍然存在线性关系。

有多种方法可以使用线性方程对非线性关系进行建模，包括多项式、各种回归样条、三角函数等，它们可以具有仍然是（多个）线性回归模型的特性。

这里的混淆主要是语义上的：1）线性回归和2）变量之间的线性依赖/关系。图中所示的预测变量和响应之间的关系显然是非线性的。另一方面，您仍然可以通过以下类型的线性模型对其进行拟合：$y = a_0 + a_1 x + a_3 x^2$或任何其他可能的非线性函数的线性组合。