这里有一个提示：考虑$Y - \hat f = (Y - f) + (f - \hat f)$，并记住$E(Y-f)=0$然后$f$不是随机的。此外，正如@GeoMatt22 指出的那样，您需要$Cov(\varepsilon_0, \hat f) = 0$，我们通过 iid 错误得到。

（基本上我认为你可能让这比它需要的更复杂，它真的只是归结为我的暗示）

关于是否$\hat f \perp Y$, 通常我们的预测不仅仅是函数$X$但也$Y$所以他们不能独立。例如，在线性回归中，我们的拟合值$\hat Y = X(X^T X)^{-1}X^T Y$所以当然不是这样的$\hat Y \perp Y$一般来说。

更新

我认为问题在于我们都对什么有点粗心$\varepsilon$' 是。我们观察数据$(\bf y, \bf X)$在我们的数据中$y_i = f(x_i) + \varepsilon_i$， 以便$\hat f$是一个函数$\bf y$,$\bf X$， 和$\varepsilon_i$为了$i = 1, \dots, n$. 我们现在观察到一个新点$(y_0, x_0)$我们假设$y_0 = f(x_0) + \varepsilon_0$. 这是关键：这个新点有它自己的错误$\varepsilon_0$这与进入的所有内容无关$\hat f$通过通常的独立同分布错误假设。因此对于$i = 1, \dots, n$绝对不是这样的$\varepsilon_i \perp \hat f$; 但是新点的错误确实是不相关的。