只是为了详细说明我的评论，这是一个示例，说明您的明显模式如何可能是由沿 x 轴的数据分布引起的伪影。我生成了 100,000 个数据点。它们正态分布在 x 轴上（），呈指数分布在 y 轴上（）。$\mu = 2500, \sigma =600$$\lambda = 1$

在散点图的“视觉包络线”之后，有一个清晰的（虽然是虚幻的）模式：y 在 1000< x<4000 的范围内看起来最大。然而，这种明显的模式，在视觉上非常有说服力，只是 x 值的分布造成的伪影。也就是说，在 1000< x<4000 范围内只有更多数据。您可以在底部的 x 直方图中看到这一点。

为了证明这一点，我计算了x 的 bin 中的平均y 值（黑线）。对于所有 x，这几乎是恒定的。如果数据是根据我们从散点图中的直觉分布的，则 1000< x<4000 范围内的平均值应该高于其他范围 - 但事实并非如此。所以真的没有模式。

我并不是说这就是您的数据的全部内容。但我敢打赌这是部分解释。

附录与实际捐赠者选择数据。

带有过度标记的原始散点图：

不透明度降低的相同散点图：

出现了不同的模式，但在 800K 数据点的情况下，仍然有很多细节会因过度打击而丢失。

缩放，再次降低不透明度并添加更平滑：

我猜你在 Y 轴上的变量是指数分布的（），但似乎速率参数会根据你的变量的正常密度概率而变化X 轴。$p(y) = \lambda e^{-\lambda y}$$\lambda$

我使用 MatLab 生成了随机数据，使用 X 的正态分布和 Y 的指数分布，，我得到了与您的数据类似的结果：$\lambda = p(x)$

您可以尝试机器学习来拟合参数，更改成本函数以比较“直方图”上每个 bin 的概率密度和速率参数。如果是这样，不要忘记在每次迭代中运行几次随机生成器以最小化成本。

这是我用于情节的代码：

% Normal distribution generation.
x = randn(10000,1);
x = x - min(x);                     % Shifting curve so every x is > 0.

% Histogram informations
k = 100;                            % Number of bins.
binSize = (max(x) - min(x)) / k;    % Width of bins.
y = 0:(k);
y = y .* binSize + min(x);          % Array with Intervals.

p = zeros(k,1);
data = [];

% For every bin...
for i = 1:k
    a = x(x >= y(i) & x < y(i + 1));    % All X values within condition.
    p(i) = size(a,1);                   % Number of occurences (or
                                        % Normal Density Probability).

    if ~isempty(a)
        for j = 1:p(i)

            % lambda = Rate parameter of exponential distribution
            % Rate parameter is varying with normal density probability.
            lambda = p(i);

            % Every X in normal distribution will have a Y
            % which was generated randomly by the exponential 
            % distribution function EXPRND.
            data = [data; a(j), exprnd(lambda)];

        end
    end
end

% Plotting normal distribution VS modified exponential distribution
scatter(data(:,1),data(:,2))

问题提到回归，它通常解决条件期望： 其中是平均捐赠，是单词数。线性回归可能过于严格，因此可以应用局部回归方法，例如 Nadaraya-Watson 核回归。结果可能对带宽的选择很敏感：宽带宽可能会掩盖有趣的局部变化。

更一般地说，和之间的独立性问题很有趣。如果和是独立的，则，当然条件期望也是独立的。但是即使条件期望独立于 x ， y 也可能以有趣的于。$x$$y$$x$$y$$p(y|x) = p(y)$$y$$x$$x$

有了这么多数据，我会查看的直方图，它们都具有几乎相同的值，并查看直方图如何随着的所选值的变化而变化。只有经过这样的调查，我才会考虑如何更正式地进行。$y$$x$$x$