首先，在许多应用程序中，您不需要距离度量，但相异性就可以了。因此，请确保需要三角不等式。

在数学中，三角不等式是度量定义的一部分，数学中的距离是度量的同义词。但是在数据库文献中，距离通常不需要是度量的。

其次，如果我们不知道您的数据，我们无法为您的数据推荐指标。

第三，余弦与欧几里得距离密切相关。假设所有数据都归一化为单位长度（），那么 因此，如果您的数据被标准化为单位长度，则 是一个度量。因为如上所示，。$||x||=1=||y||$

$$\begin{align*} \text{Euclid}^2(x,y)&=\sum_i (x_i-y_i)^2\\ &=\sum_ix^2+\sum_iy^2-2\sum_i x_iy_i\\ &=1+1-2\cdot x\cdot y\\ &=2(1-x\cdot y) \end{align*}$$ $$\sqrt{1-x\cdot y}$$ $\sqrt{1-x\cdot y}=\sqrt{\frac{1}{2}}\text{Euclid}(x,y)$

虽然这可能会让您对基于点积的度量过于兴奋，但请记住，这仅在您的所有数据都位于单位圆上且这只是欧几里德度量时才成立。如果这是您想要的行为，请规范化您的数据并使用欧几里得距离......余弦距离正是这种规范化。它包括向量长度的归一化项，以确保它们具有单位长度...

如果您的数据是sparse，并且您可以将所有向量长度保存在内存中，那么这可能是计算欧几里得距离的更快方法。如果您的稀疏度为，则点积的预期稀疏度为 ，因此如果您有良好的实现，这可以产生$s$$s^2$$1/s$

更新：有人向我指出，以这种方式计算欧几里得可能会遭受称为“灾难性抵消”的数值不稳定性。

什么是正确的距离度量？请列举一些例子。

欧几里得距离、列文斯坦距离、曼哈顿距离。正如你所写的，任何距离度量都满足距离的定义，所以有很多。在 Gunnar Carlsson 的一篇关于拓扑数据分析的文章中，他使用（我相信是）原始距离度量来分析论文的特定主题。唯一的限制是距离定义的约束。

Dice 系数和 Jaccard 指数是正确的距离度量吗？

Dice 的系数违反了三角不等式。来自维基百科：

最简单的反例是由三个集合 {a}、{b} 和 {a,b} 给出的，前两个之间的距离为 1，第三个与其他每个之间的差为三分之一. 为了满足三角不等式，这三个边中的任何两条之和必须大于或等于其余边。但是，{a} 和 {a,b} 之间的距离加上 {b} 和 {a,b} 之间的距离等于 2/3，因此小于 {a} 和 {b} 之间的距离，即 1。

Jaccard 指数不是距离度量。但是从 1 中减去 Jaccard 指数会产生距离度量。

使用点积有什么缺点吗？（点积受欢迎的原因之一是它的评估效率很高）。

没有额外的上下文是不可能全面回答这个问题的。如果您的应用程序需要适当的距离函数，那么您可能会遇到一些麻烦。

指标的选择取决于您的问题。有关余弦相似度以及如何基于它构建距离函数的讨论，请参见此答案。此外，还有一篇关于讨论高维设置中距离函数问题的论文的参考资料。

交叉产品的问题是您需要小心使用它。例如，将数据白化（中心和比例方差为 1）通常是一个好主意，这样特征的不同缩放不会使您的结果产生偏差。