我有三个随机实数：x1、x2 和 x3
每个都有约束 x > 0.1
它们一起遵循约束 x1 + x2 + x3 = 1
我想模拟 (x1,x2,x3) 所有可能性的均匀分布
我目前的想法如下：
使用后一个约束，df 变为 2 - 让我们考虑 x1 和 x2
我们可以使用一个不等式系统来表示上述约束：
0.1 < x1 < 0.8
0.1 < x2 < 0.8
x1 + x2 < 0.9
它在笛卡尔平面上形成一个直角等腰三角形。
我打算模拟[x1~U(0.1,0.8),x2~U(0.1,0.8)]。对于不满足不等式 #3 的所有结果点，它们沿 x1 + x2 < 0.9 反映（或者，被丢弃）。
这应该导致三角形区域的均匀分布。
我的问题是这是否是最有效的算法。我可以以某种方式修改模拟以直接模拟三角形吗？即无需进行反射或丢弃任何模拟点。
上的均匀分布，所有，称为狄利克雷分布。通过设置上实现均匀分布，因为它会以恒定的比例因子缩小所有内容，因此保留相对区域。
Dirichlet 分布的值可以通过生成独立的 Gamma 变量并将它们除以它们的总和来获得。意味着这些 Gamma 变量中的每一个都必须具有 Gamma分布（这是一个指数分布）。
这是示例R代码：
n <- 1e3
alpha <- 1
x <- matrix(rgamma(n*3, alpha), ncol=3)
x <- x / rowSums(x) * 0.7 + 0.1
顺便说一句，生成原始坐标（在第三行）的另一种方法是均匀分布
x <- matrix(-log(runif(3*n)), ncol=3)
因为的分布，对于均匀，是指数的。因此，该方法不需要执行特殊的统计功能。
但是如何确认结果是正确的呢？一种方法是将单纯形旋转到平面中并绘制点。此R代码计算这样一个旋转矩阵，通过验证其叉积是恒等来确认它是一个旋转矩阵，并绘制点。
beta <- apply(contr.helmert(3), 2, function(y) y / sqrt(crossprod(y)))
crossprod(cbind(beta, 1/sqrt(3))) # Outputs the 3 x 3 identity matrix
z <- x %*% beta
plot(z)
他们看起来很统一。
对于Mathematica用户，执行 OP 要求的一种简单方法是在笛卡尔平面上定义直角等腰三角形：
R = Triangle[{{.1, .1}, {.1, .8}, {.8, .1}}];
...然后从中绘制（统一）随机数：
pts = RandomPoint[R, 10^4];
全部完成。
要在其中可视化三角形R和样本数据pts：
Graphics[{R, Red, PointSize[Tiny], Point[pts]}, Frame->True, PlotRange -> {{0,1}, {0,1}}]
其中 x1、x2 和 x3 由下式给出：
{x1, x2} = Transpose[pts]; x3 = 1-x1-x2;