让表示电阻，表示负载。然后， 这是您要询问的公式，无需担心卷积、互相关、复数等就像肖恩复活节'$X$$Y$

$$\begin{align} P\{Y > X\} &= \int_{y=-\infty}^\infty \int_{x=-\infty}^y f_{X,Y}(x,y) \,\mathrm dx \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty \int_{x=-\infty}^y f_{X}(x)f_{Y}(y) \,\mathrm dx \,\mathrm dy & \scriptstyle{\text{because}~X~\text{and} ~Y~\text{are independent}}\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty f_{Y}(y)\left[ \int_{x=-\infty}^y f_{X}(x) \,\mathrm dx\right] \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty f_{Y}(y)F_{X}(y) \,\mathrm dy\\ \text{that is}, \qquad p_{failure} &= \int_{-\infty}^\infty PDF_{load} \times CDF_{resistance} \end{align}$$

实际上，和可能只取非负值 ，在这种情况下，上述积分只需要在正实线上。$X$$Y$

换句话说，失败的概率resistance - load等于小于零的概率。您正在寻找的是随机变量差异的分布。

由于这些是独立的，您可以使用卷积来解决它们的差异。但它适用于密度，而不是累积密度。此外，卷积本身就是一个无限积分。让代表负载，代表电阻。您想要卷积和，称为信号处理中的互相关：$X$$Y$$p_{X}(-t)$$p_{Y}(t)$

$$p_{Y-X}(\tau) = p_x(-\tau) \ast p_Y(\tau)= \int_{-\infty}^{\infty}p_{X}(t)p_{Y}(\tau + t)dt$$

严格来说，互相关等价于和的卷积，其中星号是复共轭。由于密度是实值，无需担心。$p_X^*(-\tau)$$p_Y(\tau)$$p_X^*(-\tau) = p_X(-\tau)$

失败概率是差异小于零的概率，您可以通过将差异的密度积分到零来找到：。（即，差异的 CDF。）您可以在数字上完成所有这些，但您可以在分析上做的越多，效率就越高。$\int_{-\infty}^0p_{Y-X}(\tau)d\tau$