首先请注意

$$\begin{align}Y_n=\max\{X_1,\ldots,X_n\}&=\max\{\sigma\epsilon_1+\mu,\ldots,\sigma\epsilon_n+\mu\}\\&=\sigma\max\{\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n\}+\mu\\&=\sigma\xi_n+\mu\end{align}$$ 因此$(\mu,\sigma)$也是最大值的位置尺度参数。渐近地，正态分布属于Gumbel分布的吸引力域，这意味着 $$\sqrt{2\log(n)}(\xi_n-d_n)\stackrel{{\cal L}}{\longrightarrow} G_0$$ 和$G_0(x)=\exp\{-\exp(-x)\}$Gumbel pdf 和 $$d_n = \sqrt{2\log(n)}-\dfrac{\log\log n + \log(4\pi)}{2\sqrt{2\log(n)}}$$

如果我们在这里结合两个答案（正态随机变量的近似顺序统计），我们有$r$th$\it{smallest}$订单统计

$$E[r,n] \approx \mu + \sigma \ \Phi^{-1} \left( \frac{r-\frac{\pi}{8}}{n-\frac{\pi}{4}+1}\right)$$

对于我们想要的最大值$r=n,$所以我们有

$$E[Y] \approx \mu + \sigma \ \Phi^{-1} \left( \frac{n-\frac{\pi}{8}}{n-\frac{\pi}{4}+1}\right)$$

编辑：

我发现这篇论文在数学堆栈交换的一个线程中被引用（正常随机变量的近似顺序统计），所以我看了一下。对于最大值，$r=n$.

“在大小为 n 的样本中，第 r 大阶统计量的期望值由下式给出

$$E(r,n)=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\int_{-\infty}^{\infty}x\{1-\Phi(x)\}^{r-1}\{\Phi(x)\}^{n-r}\phi(x)dx,$$

在哪里$\phi(x)=1/\sqrt(2\pi)exp(-\frac{1}{2}x^2)$和$\Phi(x)=\int^x_{-\infty}\phi(z)dz.$"

• Royston, JP (1982)，“算法 AS 177：预期正常顺序统计（精确和近似）”，皇家统计学会杂志。系列 C（应用统计），31（2）：161-165。

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所以$Y$是一个订单统计量。让我们标记它的密度函数$g_{(n)}(x)$, 表示它是第 n 个位置的变量的 pdf（即样本中最大值的 pdf）。让我们也标记正常$N(\mu, \sigma^2)$密度函数为$f(x)$. 这是一个标准的结果

$$g_{(n)}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x),$$ 在哪里$F(x)$是的累积密度函数$N(\mu, \sigma^2)$（作为参考，我建议Wackerly、Mendenhall 和 Scheaffer 撰写的Mathematical Statistics （第 7 版），第 333 页）。

正是在这一点上，我无法继续 - 我不知道如何评估$Y$，因为它有这么奇怪的pdf。但是，我建议您搜索“订单统计的预期值” - 特别是，我在数学堆栈交换网站上找到了有关此主题的线程：

编辑：正如 Khol 所指出的，线程是用于均匀分布，而不是正态分布。制服显然更容易处理。为部分答案道歉！

https://math.stackexchange.com/questions/751229/order-statistics-finding-the-expectation-and-variance-of-the-maximum?utm_medium=organic&utm_source=google_rich_qa&utm_campaign=google_rich_qa