机器算法验证 - 从 t & df 理解独立样本 Cohen's d 的计算 - 吾爱随笔录

从 t & df 理解独立样本 Cohen's d 的计算

机器算法验证标准差规模效应科恩斯-d

2022-04-10 17:59:55

似乎对于计算 Cohen 的（效应大小的估计），您应该使用均值的差异（或在一个样本情况下，从基线）除以，如果该信息可用：但是，当您只有 -statistic 和可用的自由度（的公式是什么？在单样本/配对样本的情况下，如何从很直观，因为计算为均值与标准误差的差： $d$ $SD$

\frac{{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}}{S D}

$\frac{\bar X_1 - \bar X_2}{SD}$

t

$t$

d f

$\rm df$

d

$d$

d

$d$

t

$t$

t

$t$

t = \frac{{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}}{S E} = \frac{{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}}{\frac{S D}{\sqrt{N}}}

$t = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{SE} = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{\frac{SD}{\sqrt{N}}}$ 所以等于：这就是您在在线文章中找到的内容，例如这篇 (pdf)。但对于独立样本，方程式改为：如此处所示，甚至：那么“ ”从何而来？它与合并 SD 的公式有关吗？

d

$d$

d = \frac{{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}}{S D} = \frac{t}{\sqrt{N}}

$d = \frac{\bar X_1 - \bar X_2}{SD} = \frac{t}{\sqrt{N}}$

d = \frac{2 t}{\sqrt{d f}}

$d = \frac{2t}{\sqrt{\rm df}}$

d = t \sqrt{\frac{2}{N}}

$d = t \sqrt{\frac 2 N}$

2

$2$

1个回答

t 计算中使用的 SD 是效果的 SD，而不是各个组的 SD。在配对情况下，用于 Cohen 的 d 和 t 的 SD 是相同的。但是在独立样本的 d 计算中使用的 SD 是各个组的合并 SD，而不是效果的理论 SD。在相关性为 0 且方差相等（独立情况）的假设下，效应的方差是单个条件方差的两倍。

试试下面的R代码来演示一下效果

x <- rnorm(1000, 0, 10)
var(x)
y <- rnorm(1000, 5, 10)
var(y)
cor(x,y)
var(x-y)

运行该示例几次。前两行获得 1000 个随机独立样本，方差为 100 (sd = 10)。您将看到，当 x 和 y 之间的相关性接近 0 时，xy 的方差（效果）趋向于 200。对于 x+y 也是如此。由于上面代码中的大样本，虚假相关性很少见，但在大样本的实际实验中，它们总是会发生（减少上面样本中的 n，它们会在那里发生）。因此，我们所做的是坚持理论并平均各组的方差（合并方差），然后将其加倍。或者，也可以将 var(x) + var(y) 相加。事实证明，这在数学上是相同的，但隐藏了等方差的假设。

为了进行比较，请尝试一些从效果计算中得出的相关数据。

m <- rnorm(1000, 2.5, 10)
x <- m - rnorm(1000, 2.5, 10)
y <- m + rnorm(1000, 2.5, 10)
var(x)
var(y)
cor(x,y)
var(x-y)

我没有费心将方差等同于上述（上面所有样本中的 sd = sqrt(50) 都可以）。这次您将看到 x 和 y 的方差均为 200。如果一切都像以前一样，这将导致 xy 的最终方差为 400。但是，因为 x 和 y 是相关的（大约 0.5），所以您会得到低得多的方差。这是配对 t 检验利用的数学特性。

这是其中的一部分，但为什么 cohen 的 d 使用不同的计算？通过配对测量设计，条件之间的相关性是效果计算的一部分。您通常只收集足够的 N 来真正衡量效果，而您并不是真正要衡量每个条件下的真实值，而只是衡量效果。未来的实验将倾向于采用类似的设计，重复测量的影响大小提供了更准确的复制可能性预测指标。类似的论点也适用于独立设计。

有些人认为，您应该始终使用各个条件的汇总方差。对此存在争论，有些人坚定地认为 d 公式应该始终相同并使用独立组版本。这确保了您何时使用和不使用重复测量设计的公共参考点。如果独立设计是可能的，我认为这个论点有一些优点。但我看到这种论点是在人们耳朵之间的差异之类的事情上提出的。这永远不可能是一个独立的组设计，将有非常高度相关的测量，因此应该总是有一个通过配对或相关效应测量计算的效应大小。

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