机器算法验证 - 将 Hellinger 距离扩展到多元分布 - 吾爱随笔录

机器算法验证分布密度函数距离函数

2022-03-19 21:43:38

单变量分布的海林格距离是

H (x) = 1 - \int \sqrt{f (x) g (x)} d x

$\ H(x) = 1 - \int \sqrt {f(x)g(x)}\; dx$

我希望通过将其扩展为这种形式，将其用于双变量分布

H (x) = 1 - \int \sqrt{f (x, y) g (x, y)} d x d y

$\ H(x) = 1 - \int\sqrt {f(x, y)g(x, y)} \;dx dy$

有人可以评论这是否仍然是有效的 Hellinger 距离吗？

1个回答

这绝对是有效的。实际上，两个度量之间的 Hellinger 距离 $P$ 和 $Q$ ，它们由相同的（sigma-finite）度量支配 $\lambda$ , 定义为

H^{2} (P, Q) = \frac{1}{2} \int {(\sqrt{\frac{d P}{d λ}} - \sqrt{\frac{d Q}{d λ}})}^{2} d λ .

$H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\int\left( \sqrt{\frac{dP}{d\lambda}} - \sqrt{\frac{dQ}{d\lambda}} \right)^2 \, d\lambda \, .$ 因此，您正在考虑特殊情况

λ

$\lambda$ 是二维勒贝格测度，密度

f

$f$ 和

g

$g$ 是 Radon-Nikodym 衍生物的版本

d P / d λ

$dP/d\lambda$ 和

d Q / d λ

$dQ/d\lambda$ .

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