对于分段线性函数，使用在“片段”的每个末端都具有端点的梯形规则将产生曲线下的确切面积——即，它相当于曲线下的积分。当梯形与分段线性函数中的线完全对应时，就会发生这种情况。（当然，如果函数中的片段的端点不是梯形的端点，则这不成立。）相反，矩形方法不会给出曲线下的确切面积，但如果使用它应该是接近的大量的矩形。

至于哪种方法更好，如果计算上可行，精确方法（梯形）更好。我不知道为什么它不应该比矩形方法在计算上更昂贵，因为唯一的区别是它使用每个端点的平均高度而不是最大高度。如果我们使用端点划分召回值$r_0 < r_1 < \cdots < r_n$那么我们有：

$$\begin{align} \text{Rectangular area} &= \sum_{k=1}^n (r_k - r_{k-1}) \times \max (P(r_k), P(r_{k-1})), \\[10pt] \text{Trapezoidal area} &= \sum_{k=1}^n (r_k - r_{k-1}) \times \frac{P(r_k) + P(r_{k-1})}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

假设这些端点包含分段线性函数的端点，很容易证明梯形面积是曲线下的精确面积。

更新

这篇期刊文章解释了由于 Precision-Recall 曲线的非线性特性，为什么线性插值既“过于乐观”又“不正确”：https ://www.biostat.wisc.edu/~page/rocpr .pdf

• 由于精度响应曲线的非线性特性，线性插值会导致错误的高估。
• 使用平均规则，错过的斜率变化会被平均淘汰。使用插值，它们不会。因此，如果点不能覆盖真实曲线中的所有斜率变化，则插值误差会增加。这就是为什么插值“过于乐观”以及为什么中点规则的误差通常只有梯形规则的一半。
  https://math.libretexts.org/Courses/Mount_Royal_University/MATH_2200%3A_Calculus_for_Scientists_II/2%3A_Techniques_of_Integration/2.5%3A_Numerical_Integration_-_Midpoint%2C_Trapezoid%2C_Simpson%27s_rule
  http://math.cmu.edu/~mittal/Recitation_notes.pdf
  https ://activecalculus.org/single/sec-5-6-num-int.html

这篇文章在 scikit-learn 文档中被称为“[Davis2006]”，以解释为什么线性插值在这里不合适和“过于乐观”。请参阅：https ://scikit-learn.org/stable/modules/model_evaluation.html#precision-recall-f-measure-metrics

还，

该函数sklearn.metrics.average_precision_score不使用矩形规则，或任何黎曼和，无论是否正确。它使用“平均精度”。公式非常不同。

请注意，f(x) 与 Pi 非常非常不同。由于精度和召回率的公式，平均精度实际上是计算平均值，离散值介于 0 和 1 之间。关于黎曼，f(x) = y。这为您提供了乘以增量的高度。那里没有平均。

平均精度最类似于中点规则，因为它们都在做平均。

请注意，R 对平均精度使用相同的公式：https ://www.rdocumentation.org/packages/yardstick/versions/0.0.4/topics/average_precision