回归的一个目的是控制协变量的影响。这个问题基于（正确的）理解，即不应将此目的与测试这些协变量的重要性相混淆。

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在线性多元回归模型中

$$\mathbb{E}(y) = \alpha + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k,$$

检验比较原假设$F$

$$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_k = 0$$

替代方案

$$H_1: \beta_j \ne 0\text{ for at least one }j.$$

在您的情况下，您对这个假设不感兴趣，因为这些系数中的大多数都与协变量相关联。让是您感兴趣的单个预测变量的索引，是数据量，您的测试应该基于比较$j$$n$

$$H_0: \beta_j = 0$$

至

$$H_1: \beta_j \ne 0.$$

这通常通过 t 检验完成，其中估计值除以其标准误差，得到的 t 统计量称为具有自由度的 Student t 分布. 如果您认为该结果显着，那么您将拒绝该原假设（而不是 F 检验的综合原假设）并得出结论，在控制所有协变量后，发现变量显着相关。$\hat \beta_j$$se(\hat\beta_j)$$n-k-1$$x_j$$y$

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其他注意事项

请注意，如果您打算分别进行多个此类测试，涉及多个变量，那么此过程将不再适用于其中任何一个。上下文很重要！您需要首先执行测试以查看该组变量中的任何一个是否重要。通常的程序是基于与感兴趣变量相关的“额外平方和”的 F 检验。在单个变量的情况下，此 F 检验在数学上等同于 Student t 检验。

更微妙的是，请注意，重要的是您计划在查看数据之前进行的测试次数。如果您首先检查数据，然后根据该检查选择作为唯一感兴趣的变量，那么您将不得不弄清楚如何解释您使用的附加信息，以便将模型缩小到这个单一变量. 例如，您可能会尝试（尽可能诚实地）列举您可能对测试感兴趣的所有变量，然后将它们视为刚刚描述的一组。$x_j$

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参考

Montgomery、Peck 和 Vining，线性回归分析简介。 第五版，2012 年。约翰威利父子公司。第 3.3 节。

总体 F 检验下的零假设如下：

 H0: β1 = β2 = ... = βm= 0 
 Ha: At least one of the slope parameters is not equal to 0.

看看备择假设(Ha)，我怀疑一旦您无法拒绝 Null，您就无法对单个系数发表任何看法。

话虽如此，未能拒绝 NULL 仅意味着 X 和 Y 之间的关系不能用给定的模型来解释（在这种情况下是线性的）。您可以尝试 X 和 Y 之间的另一种规范或非线性规范。