机器算法验证 - 向量子空间的多元正态分布距离 - 吾爱随笔录

向量子空间的多元正态分布距离

机器算法验证正态分布多元分析距离

2022-03-28 06:04:37

让 $X \sim {\cal N}(\mu,C)$ 是服从多元正态分布的随机变量 $\mathbb{R}^n$ 和 $U \subset \mathbb{R}^n$ 是一个向量空间 $\dim(U)=n-1$ . 发生的概率是多少 $X$ 保持距离 $(L_2)$ $d$ 从 $U$ ? 假使，假设 $d$ 很小（我实际上对 $\lim\limits_{d \rightarrow 0} \frac{P(d)}{d}$ 其中 $P(d)$ 是上述概率。）

1个回答

我们一般假设 $U$ 是一个仿射子空间。设 $\nu$ 为垂直于 $U$ 的单位， $\delta$ 到原点的距离（在方向上）， $U$ $\nu$

U = {x \in R^{n} | ν \cdot x = δ} .

$U = \{x\in \mathbb{R}^n \ |\ \nu \cdot x = \delta\}.$

向量 $\nu$ 可以补全为，其中与所有在此基础上，分布成为在方向上的正态分布与方差和均值和之间的距离为. 因此，问题被简化为容易获得答案的一维上下文。 $\{\nu, e_2, e_3, \ldots, e_n\}$ $\mathbb{R}^n$ $\nu$ $e_i.$ $\nu$ $\nu\prime C \nu$ $\nu\cdot \mu$ $x$ $U$ $|\nu \cdot x - \delta|$

例子

假设和对角方差矩阵在对角线上分别为和的二元正态矩阵。令为由法线向量给出的超平面，距原点的距离这里有 10,000 个模拟值以及（一条线，以红色显示）。的0.05 以内的模拟点被突出显示。 $X$ $(2,-3)$ $\Sigma$ $4$ $1$ $U$ $(1,1)$ $1$ $U$ $U$

使用一百万 ( ) 个模拟值，的限制比率估计为。如上所述计算的正确值是符合要求。生成此模拟、绘制绘图和计算正确值的代码如下。 $10^6$ $P(d)/d$ $0.1411 \pm 0.00035$ $0.14087,$ R

#
# Simulate from a multivariate normal distribution.
#
require(mvtnorm)
set.seed(17)
sigma <- diag(c(4, 1))
mu <- c(2, -3)
N <- 10^6
x <- rmvnorm(N, mu, sigma)
if (N <= 10^4) plot(x, cex=1/2, col="#00000040", asp=1)
#
# Describe and plot an affine hyperplane nu.x == d.
#
nu <- c(1,1)/sqrt(2)
d <- 1
if (N <= 10^4) abline(1/nu[2], -nu[1]/nu[2], col="Red")
#
# Show values close to the hyperplane and estimate their probability.
#
eps <- 0.05
i <- abs(x %*% nu - d) < eps
if (N <= 10^4) points(x[i, ], cex=1/2, col="Red")
p <- mean(i) / (2*eps)
n.dec <- ceiling(log(N, base=10)/2)+1
#
# Perform an exact calculation.
#
s <- nu %*% sigma %*% nu
z <- dnorm(d, mean=sum(nu*mu), sd=sqrt(s))
#
# Display the results.
#
cat("Lim(P(d)/d) equals", round(z, n.dec+1))
cat("Lim(P(d)/d) is approximately", round(p, n.dec), 
    "+-", round(sqrt(p*(1-p)/N), n.dec+1))

此代码仅计算距离U的限制概率。在计算非零距离时，不要忘记超平面有两条边：您必须将正常 PDF 的值加倍。 $0$ $U$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇分位数回归功效分析下一篇精度/召回曲线中的阈值