让表示第个响应。在您的示例为 5，因为您有 5 个测试分数。令是一个的预测变量矩阵。如果您实现单独的回归（每个一个），$Y_i$$i$$i = 1, \dots, r$$r$$X$$n \times p$$r$$Y_i$

其中。使用 OLS，您可以得到的估计值。您还可以进行多元回归，$\epsilon_i \sim N_n(0, \sigma^2_iI_n)$$\beta$

其中是响应矩阵，是回归系数矩阵，是误差矩阵，使得第列，。在这种情况下，的 OLS 估计等价 OLS 估计。$\mathbf{Y}$$n \times r$$\mathbf{B}$$p \times r$$\mathbf{E}$$i$$\epsilon_i \overset{iid}{\sim} N_n(0, \sigma^2_iI_n)$$\mathbf{B}$$r$$\beta_i$

但是，如果您有理由假设以为条件，5 个预测变量是相关的（在您的情况下这似乎是一个合理的假设），那么的行被假设为。这里现在也表示预测变量的相关结构。$X$$\mathbf{E}$$j = 1, 2, \dots, n, \epsilon_j \overset{iid}{\sim} N_r(0, \Sigma)$$\Sigma$

需要注意的是，即使在这种情况下，的估计值与 OLS 估计值相同，但估计值的误差结构会发生变化，因此对估计值的推断也会发生变化。因此，值会发生变化。$\mathbf{B}$$p$

MRCE R 包允许这样的模型拟合。相比不够大时，此包还使用正则化方法，因此您可能不会被迫减少预测变量的数量。您还可以在此处找到更详细的理论以及激励示例。作者陈述了以下动机$n$$p$

这种通用模型的应用出现在化学计量学、计量经济学、心理计量学和其他定量学科中，在这些学科中，人们使用一组预测变量来预测多个响应。例如，使用与其生产相关的一组变量来预测纸张质量的几种测量方法。

同样，在您的设置中，您似乎有 5 组来自相同预测变量的响应，响应之间具有固有的相关结构。