假设我观察一个样本$(y_i,x_i)$,$i=1,...,n$. 假设我知道以下内容：

$y_i=\alpha_0+\alpha_1x_i+\varepsilon_i$,$i \in J\subset\{1,...,n\}$

$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$,$i \in J^c$

在哪里$\varepsilon_i$是独立同居和$J$事先不知道。是否可以估计$\alpha_0,\alpha_1,\beta_0,\beta_1$? 或者至少检验以下假设$J=\varnothing$?

如果$J$众所周知，这个问题很容易解决。遍历所有子集是不可行的，因为我们有$2^n$可能的组合。如果我们假设$J=\{1,...,k\}$与未知$k=1,...,n$，这是经典的变点问题，有很多测试可用。我怀疑这可能是不适定的问题，所以我想在尝试解决它之前检查一下。

这是问题的简单说明：

N <- 200
s1 <- sample(1:N,N %/% 2)
s2 <- (1:N)[!(1:N) %in% s1]

x <- rnorm(N)
eps <- rnorm(N)

ind <- 1:N

y <- rep(NA,N*T)
y[ind %in% s1] <- 2+0.5*x[ind %in% s1]+eps[ind %in% s1]/5
y[ind %in% s2] <- 1+1*x[ind %in% s2]+eps[ind %in% s2]/5
y

sal1 <- ind %in% s1

plot(x, y)
points(x[sal1], y[sal1], col=2)
abline(2, 0.5, col=2)
abline(1, 1)

从图形上看，我们有两个不同的模型或多或少是显而易见的。也许可以使用一些分类或数据挖掘技术来解决这个问题？