在我看来，在第一个问题的解决方案中，不等式约束变为等式，即$1 - \xi_i = y_i(w^Tx_i + b)$，因为我们正在最小化$\xi_i$和满足约束发生在相等处。因此，作为$\xi_i \geq 0$，$\xi_i = max(0, 1 - y_i(w^Tx_i+b))$，它的替代给出了与你的第二个公式非常相似的东西。

检查了Chapelle 的论文后，看起来第二个公式在最大运算的后半部分缺少“1 -”（请参见公式 2.8 之后的 L(.,.) 的定义）。在那种情况下，两个公式是相同的，它们都是原始优化问题的等效表示（对偶公式是根据拉格朗日乘数）。因此，优点和缺点纯粹是计算的。$\alpha_i$

请参阅https://davidrosenberg.github.io/mlcourse/Notes/svm-lecture-prep.pdf的第一页以获得更正式的答案。aka，这两个问题是“等价的”，因为第一个问题的最小值和最小值是第二个问题的最小值，反之亦然。

将文档中的替换将回答您的问题。$g(x)$$1-y_i(w^T x_i +b)$

双向证明：

文档中的第二个问题 -> 文档中的第一个问题

假设我们有作为文档中第二个问题的最小化器。那么（因为否则目标函数可以通过将设置得更小来获得更小的值）。由于是最小化器，我们有“ ”。通过将设置为特殊情况，我们有“ ”，表明它也是第一个问题的最小值。QED。$(x^\star, \xi^\star)$$\xi^\star=g(x^\star)$$\xi$$\forall x, \forall \xi, f(x)+\xi \ge f(x^\star)+g(x^\star)$$\xi=g(x)$$\forall x, f(x)+g(x) \ge f(x^\star)+g(x^\star)$

第一个问题 -> 第二个问题

假设我们有作为文档中第一个问题的最小化器。$x^\star$

因此最小化“ ”。$x^\star$$f(x)+\xi, s.t. \xi=g(x)$

因此最小化“ ”（因为当这个问题达到最小值时，必须等于；这意味着它退化为以上问题）。这个问题正是文档中的第二个问题。QED。$x^\star$$f(x)+\xi, s.t. \xi \ge g(x)$$\xi$$g(x)$