背景

在本文中，是一个随机变量，具有连续分布函数。衡量Y的小值可能有多极端的一种方法是报告“在模型 [ F ] 下观察到相等或更极端（小）值的概率”：换句话说，当F(y)接近0 , y是Y的极低值。$Y$$F(y)=\Pr(Y \le y)$$Y$$F$$F(y)$$0$$y$$Y$

有些人对正态分布（由标准正态分布函数$\Phi$确定）的推理根深蒂固，他们更喜欢用标准偏差的数量（“Z 分数”）z来重新表达$F(y)$\Phi(z) = F(y)。如果我们假设F严格增加，这可以解决以产生$z$$\Phi(z) = F(y)$$F$

生成具有标准正态分布的新随机变量$Z(Y)$

解释

$Z(y)=0$当且仅当

这就是 F 的中位数的：F为的值。$F$$y$$F(y)$$50\%$

如果一个分布有一个平均值，它不一定等于它的中位数。例如，当的平均值超过其中位数时，必须大于。因此，当考虑相对于是根据任何定义的正态分布的中心，它真正反映了相对于中位数的偏差，而不是它的平均值（而不是的任何其他特定中心位置）。$F$$\mu_F$$F$$Z(\mu_F)$$0$$Z$ $0$$F$$F$

一个应用程序

在美国关于歧视的判例法中，法院已经接触到足够多的统计专家来了解标准偏差和 z 分数。一些判例法产生了以“标准偏差的数量”表示的标准（作为歧视的证据）；也就是说，就 Z 分数而言。当感兴趣的统计数据（例如歧视性影响的度量）不具有正态分布时，一些专家喜欢将 p 值转换为“标准偏差的数量”。（他们希望法院能因此更好地理解 p 值。）这些可以解释为本文讨论的伪残差。