这种设置等同于计量经济学中的确定性（效率/生产力）前沿分析，计量经济学家试图衡量企业/生产单位与充分利用生产要素的距离有多远。这$f(x)$函数是全效率的生产函数（即它给出给定技术和投入的最大产出$x$，“生产边界”）和误差体现了实际产出与理论最大值的距离的测量，

$$q_i = f(x_i) + \epsilon_i,\;\; \epsilon_i\le 0$$

该模型已在很大程度上被放弃，因为其中违反了最大似然估计的规律性条件之一：因为$\epsilon_i\le 0$我们一直

$$q_i \le f(x_i)$$ 这使得随机变量的范围（即支持）$q_i$（实际生产）取决于要估计的参数（包括在$f(x_i)$）。那么最大似然估计量的标准渐近性质不能被调用，即它们是否成立是未知的。

因此它已被随机前沿框架所取代，除了单边误差项外，还添加了一个零均值对称扰动（通常假设为正态）（表示对公司产出的机会效应与与公司的“内部效率”）：

$$q_i = f(x_i) + u_i+\epsilon_i,\;\; E(u_i\mid x_i) = 0,\;\;\epsilon_i\le 0$$

它处理了上面提到的问题（毕竟，它也更现实）。你可以通过添加一个对称的零均值误差来增加你的模型吗？然后，机器学习估计的机制已经在 Stochastic Frontier 文献中到位，制定了不止一个随机规范。