机器算法验证 - 构建多元输出的区间估计 - 吾爱随笔录

构建多元输出的区间估计

机器算法验证置信区间多元分析高斯过程

2022-04-02 13:27:11

我正在构建一个多元高斯过程模型，该模型从输入位置和。最后，我希望能够根据我知道绘制我对 $X_i$ $Y_i$ $z_i$ $X_i$ $Y_i$

(\begin{matrix} X_{i} \\ Y_{i} \end{matrix}) \sim N_{2} (\begin{matrix} (\begin{matrix} μ_{X_{i}} \\ μ_{Y_{i}} \end{matrix}), (\begin{matrix} σ_{11 i} & σ_{12 i} \\ σ_{21 i} & σ_{22 i} \end{matrix}) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} X_i\\ Y_i \end{pmatrix} \sim N_2 \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_{X_i}\\ \mu_{Y_i} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_{11i} & \sigma_{12i}\\ \sigma_{21i} & \sigma_{22i}\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ 如您所见，每个对都有自己的均值和协方差矩阵。现在，为了绘制我对对的最佳估计，我可以简单地绘制我对的预测值对（如下所示的红线）。现在我的问题是，以下列方式构建 95% 区间估计是否合适（或者是否有更好的方法）。所以对于每个点

X_{i}, Y_{i}

$X_i,Y_i$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i}, Y_{i}

$X_i,Y_i$ 我可以绘制它的 95% 置信椭圆，如下图所示（蓝色椭圆）

在此处输入图像描述

还有一点，我可以做类似的事情。

在此处输入图像描述

对于第三点，我可以再次做同样的事情，我们看到这里的协方差矩阵对于这组和 $X_i$ $Y_i$ 在此处输入图像描述

在此处输入图像描述

所以最后我们看到我们可以为每个单点和绘制一个 95% 的区间估计（最后两个图，其中倒数第二个图对所有点具有相同的协方差矩阵，最后一个图具有不同的协方差矩阵对于所有点）。现在，我可以认为这是所有点和的 95% 联合区间，还是有更好的方法来解决这个问题？ $X_i$ $Y_i$ $X_i$ $Y_i$

1个回答

[我知道这不能回答问题，也不能提供消息来源；这将是一个评论，但太长了]

我认为您的问题是您没有明确定义“95％置信区间”，并且您的问题呈现出不止一种解释方式。如果您确切地确定“95% 置信区间”的含义，您可能会回答您自己的问题。

例如，您的意思是：

如果我多次重新运行我的实验，那么生成的 95% 的区域将完全包含真实路径
如果我多次重新运行我的实验，这些区域平均会包含 95% 的真实点
如果我多次重新运行我的实验，那么对于任何给定的真，对应的真将有95% 的时间 $X_i$ $Y_i$ $X_i$
如果我多次重新运行我的实验，那么对于任何给定的真，对应的真将有95% 的时间区域对面的水平区域中。 $Y_i$ $X_i$ $Y_i$
随机选取的点的后验概率密度的 95% 的区域。这可能最接近您生成的内容。 $i$

或者也许是其他一些变化。

您的问题是您的估计严格来说是所有对的一个非常高维的向量，因此您的“标准”置信区域将是一个高维椭圆体。请记住，过程中每个点的不确定性不必独立于前面的点，如果一个步骤太高，下一步可能也是如此。因为这是一个高斯过程，您应该能够计算出完整的 2N x 2N 相关矩阵，因此您可以根据您的兴趣来处理许多不同的置信区域。 $(X_i, Y_i)$

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