现有的答案指出了皮尔逊的卡方检验。虽然这通常是一个很好的解决方案，但它确实依赖于近似值。Pearson 推导出卡方统计量近似遵循卡方分布，他用它来计算 p 值。他通过假设多项式随机向量实际上是多元正态来进行此推导。因此，当所有计数都很高时，这很有效，但当它们很低时，则不一定。

我想指出四个不依赖于这种近似的替代方案。

1.枚举

一种是精确多项式检验，通过枚举计算 p 值。我的意思是，您可以根据数据计算拟合不良统计量，无论是卡方统计量还是似然比统计量。然后，您实际上会遍历每个可能的多项式随机向量，检查该向量的检验统计量是否超过观察到的统计量，并将概率相加。等于或超过观察值的总概率是您的 p 值。此方法在R 包 XNomial中实现，如 xmulti()。

2. 蒙特卡罗模拟

选择一个拟合差的度量作为检验统计量。同样，可能是卡方或似然比统计。从您的理论分布中模拟样本，并计算统计量等于或超过观察到的时间的比例。这个分数就是你的 p 值。此方法也在XNomial中实现，如 xmonte()。自己编写代码也很容易，在 R 中使用 rmultinom 或其他语言中的等价物。

3. 将最高观测值代入多项式“CDF”

这仅适用于特殊情况，其中空分布有点“均匀”，并且您正在测试数据是否比应有的更“不均匀”。例如，天文学家鲁道夫沃尔夫做了一个实验，他将两个骰子掷了 20,000 次。一个骰子最常出现在第 6 面 - 3932 次。另一个最常出现在第 2 方 - 3631 次。仅此信息就足以拒绝骰子是公平的零假设。您的检验统计量是最常观察到的一侧的观察次数。关注第二个骰子，这个数字小于观察到的概率是这样的，看起来有点像 CDF：

观察所有面的概率为 3630 次或更少，明白吗？$X_i$这里的意思是次数$i$被观测到。所以这是最大的概率$X$是 3630 或更少。所以，我们的 p 值——最大值为 3631 或更大的概率——是 1 减去这个概率。

可以使用我的包 pmultinom在 R 中计算此概率。事实上，它是“pmultinom”函数文档中的示例代码。还有另一个名为 pmultinom 的包。从理论上讲，另一个包使用的是近似值，而我的是精确计算，但我没有机会比较并查看差异是否足够大。

所以，这是一个特例，它也可能不那么强大，因为你只使用来自一个可能结果的信息，但有时它就足够了。

4. 近似似然比检验

我猜还有第四种可能性，即使用似然比检验假设 2 * log（似然比）具有卡方分布。（其中似然比是数据的概率，因为真实概率是观察到的频率，除以给定假设的数据的概率。这与维基百科上的定义相反，但对我来说更有意义在这种情况下，因为拟合不好时它很高，就像卡方统计一样。）这也是近似的，但它可能适用于不同的情况。令人惊讶的是，我找不到执行此操作的 R 函数。自己编写代码应该很容易。我不完全确定卡方分布使用多少自由度。

对我来说，这看起来像是一个合适的应用程序。您应该使用卡方检验。因此，如果您有 3 个边并且您的概率向量是 (0.1, 0.2, 0.7)，并且您有 100 次试验。您会期望结果为 (10, 20, 70)。使用理论计数与卡方检验中观察到的计数进行比较。

看看https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson%27s_chi-squared_test#Two-by-two_contingency_tables

是的，它被称为Pearson's$\chi^2$测试。预期频率为$E_i = N \times p_i$（在哪里$N$是总样本量），观察到的频率就是你所说的$n_1, ..., n_k$.

拟合优度检验的应用是错误的解决方案，因为它们拒绝了您想确认的假设。等效性测试的正确技术。请看我的论文https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2907258和https://www.researchgate.net/publication/312481284_Testing_equivalence_of_multinomial_distributions。该实现也可以在 github 上找到。如果有任何问题，请随时问我。